Verständnisprobleme - Determinante

Question

ich habe hier insgesammt 3 Aufgaben. 2 habe ich (zumindest denke ich das) richtig gelöst nur verstehe nicht warum :-D

Für die dritte Aufgabe habe ich leider noch keinen Lösungsansatz und bräuchte da Eure Hilfe :)

1)

Geben Sie zwei geeignete quadratische Matrizen A und B an, für die gilt:

$$det(A+B) \neq det(A) + det(B) $$

Hier habe ich für A: $$\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$$

Und für B : $$\begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 4 & 8 \end{pmatrix}$$

gewählt (ohne irgendeinen hintergedanken dabei) und kam dann auf

det(A) = -8

det(B) = -8

A + B ergibt: $$\begin{pmatrix} 3 & 9 \\ 6 & 12 \end{pmatrix}$$

det(A+B) = -18

$$-18 \neq -8 + -8$$

Stimmt so wie ich das sehe. Habe es dann nochmal mit 2 anderen Matrizen versucht: Stimmte auch wieder.

Nun wurde ich misstrauisch. So leicht machts mir Mathe eigentlich nie. Also was ist da los? :D Oder stimmt der ganze Ansatz nicht?

2)

Ich hab folgende 3 Matrizen:

$$ A = \begin{pmatrix} -2 & -2 & -2 \\ -2 & -1 & -1 \\ 1  &  0 & 1\end{pmatrix}$$

$$ Q = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} -2 & 2 & -1 \\ -2 & -1 & 2 \\ 1  &  2 & 2\end{pmatrix} $$

$$ R = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 5/3 \\ 0 & -1 & -5/3 \\ 0  &  0 & -2/3\end{pmatrix} $$

Zusätzlich habe ich die Information, dass A = QR.

a) Rechne nach, dass Q orthogonal ist, d.h. QQ^T = Einheitsmatrix.

Meine Lösung: Erst habe ich Q transponiert und dabei das 1/3 außen vor gelassen.

Dann habe ich Q * Q^t gerechnet und kam auf:

$$ QQ^T \begin{pmatrix} 9 & 0 & 0\\ 0 & 9 & 0 \\ 0  &  0 & 9 \end{pmatrix} $$

Wenn ich die dann durch 9 teilen würde (oder erst noch mit 1/3 multipliziere und dann durch 3 teile) erhalte ich die Einheitsmatrix. Stimmt das so?

b)

Begründen Sie ohne Matrix-Umformungen, dass det(A) = |2|.

Hier stehe ich auf dem Schlauch...

Würd mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte!

Answer 1

Hallo :-)

Es gilt allgemein der Zusammenhang, dass \(\det(A)\neq 0 \Leftrightarrow A\) hat vollen Rang. Betrachte mal damit zb folgenden Matrizen

\(A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\\[10pt] B=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)

Zu a). Ja, das kannst du so machen.

Zu b). Berechne einfach die Determinante von \(A\), zb mit Laplace oder Sarrus (Spezialfall der Leibnitzformel für \(n=3\)).

Comments

Zu 1: Hmm.. Glaub das mit dem Rang hab ich noch nich ganz kapiert.

Wenn ich die Matrizen von Dir durchrechne, stimmt die Gleichung ja auch? Also stimmt die immer?

Was ich weiß ist, dass solange die Det = 0 ist, ist die Matrix linear abhängig. Also wenn sie ungleich 0 ist, ist die Matrix linear unabhängig? Hat das damit etwas zutun?

Zu 2b)

Hmm.. Okay, das klingt ja schon wieder fast zu einfach. :-D

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Also wenn sie ungleich 0 ist, ist die Matrix linear unabhängig? Hat das damit etwas zutun?

Genau. Und Spaltenvektoren kann man nebeneinander aufgestellt als Matrix interpretieren.

Wenn ich die Matrizen von Dir durchrechne, stimmt die Gleichung ja auch?

Also ich bekomme:

\(\det(A)=1\cdot 1-0\cdot 1=1\) und \(\det(B)=0\cdot 0 - 1\cdot 0=0.\)

Also \(\det(A)+\det(B)=1+0=1\). Weiter ist

\(\det(A+B)=1\cdot 1-1\cdot 1=0.\)

Insgesamt also

\(\det(A)+\det(B)=1\neq 0=\det(A+B)\).

Hmm.. Okay, das klingt ja schon wieder fast zu einfach. :-D

Ja, manchmal muss man einfach nur konkret ausrechnen. ^^

Oder benutze den Determinantenmultiplikationssatz:

\(|\det(A)|=|\det(Q)|\cdot \det(R)=1\cdot |\det(R)|=1\cdot |3\cdot (-1)\cdot \frac{-2}{3}|=2\). Für orthogonale Matrizen gilt stets \(|\det(Q)|=1\).

Answer 2

Hallo

dein Gegenbeispiel ist zwar richtig, aber die det der ersten Matrix ist -2, nicht -8

warum bei QQ^T nich direkt mit 1/9 arbeiten? aber richtig

wegen det (QQ^T)=1 ist det (Q)=1 und det(R) das Produkt der Diagonalenelement- damit det(A)=det(Q)*det(R)=2

Gruß lul

Comments

Vielen dank! Das muss ich mir aber nochmal durch den Kopf gehen lassen. Oo