Zeigen Sie für g ∈ R, dass g ∈ ggT(a,b), genau dann gilt, wenn ⟨g⟩ = ⟨a,b⟩

Question

Aufgabe:

Seien R ein euklidischer Ring und a,b ∈ R.

(a) Zeigen Sie für g ∈ R, dass g ∈ ggT(a,b), genau dann gilt, wenn ⟨g⟩ = ⟨a,b⟩

(b) Bestimmen Sie für R=ℤ ein g ∈ R mit              ⟨g⟩ = ⟨1974, 2021⟩

Problem/Ansatz:

Hier fehlt mir leider ein Ansatz, hoffe jemand kann mir weiterhelfen.

Answer 1

Hallo

a zeigt man mit dem euklidischen Algorithmus , bzw. weil man ihn umkehren kann um ggT(a,b)=k*a+n*b k zu konstruieren.

der ggT ist 47, sehr kurzer euklidischen Algorithmus

2021=1*1974+47

1974= 42*47 +0

Gruß lul

Comments

Hallo, erstmal danke für deine Antwort.

Bei der b muss ich also lediglich mit dem Euklidischen Algorithmus den ggT ausrechnen und bin fertig?

Gruß

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Hallo

ob du noch 47=1*2021-1*1974 hinschreiben sollst weiss ich nicht.

lul

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Als Linearkombination muss ich die soweit ich weiß nicht hinschreiben, aber ich hab nicht damit gerechnet das der ggT bei der Aufgabe bereits reicht. Danke dir.

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Hallo, ich hätte nochmal eine Frage zur a, weil ich mir nicht ganz sicher bin ob ich das richtig verstanden habe.

g ∈ ggT(a,b) genau dann, wenn g = xa+yb, also wenn ⟨g⟩ = ⟨a,b⟩

Hab ich das so richtig verstanden?

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Prinzipiell stimmt das schon, ja. Aber da du hier auch nochmal nachfragst, solltest du dich auch mal fragen, ob dieser Einzeiler bei eurem Vorwissen reicht. Falls nicht, kannst du bei dieser Äquivalenz wie eigentlich immer, beide Richtungen zeigen. Also  
g ∈ ggT(a,b) ⇒ ⟨g⟩ = ⟨a,b⟩ und ⟨g⟩ = ⟨a,b⟩ ⇒ g ∈ ggT(a,b). Wenn du das machst, bist du immer auf der sicheren Seite. Und da musst du dich jetzt mit deinem Vorwissen durchziehen.
z.B. ⟨g⟩ = ⟨a,b⟩ ⇒ g ∈ ggT(a,b)
Dann machst du dir erstmal klar, was ⟨g⟩ und ⟨a,b⟩ überhaupt ist. Und ausgehend davon, zeigst du die beiden Punkte, die ein Element x vom ggT erfüllen muss und zeigst damit, dass g ∈ ggT(a,b) gelten muss. Und sonderlich schwer ist auch das nicht.

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Alles klar, danke für deine Antwort