Aloha :)
Wir bestimmen zunächst alle Extrema der Funktion$$f(x;y)=5-3\left(x-\frac{1}{3}\right)^2-\left(y+\frac{1}{3}\right)^2$$ohne die Menge$$D=\left\{(x;y)\in\mathbb R^2\,\big|\,x^2+\frac{y^2}3\le3\right\}$$ zu beachten. Dazu setzen wir den Gradienten gleich \((0;0)\)
$$\binom{0}{0}\stackrel!=\binom{-3\cdot2\left(x-\frac13\right)}{-2\left(y+\frac13\right)}=\binom{-6x+2}{-2y-\frac23}\quad\implies\quad\binom{x}{y}=\binom{\frac13}{-\frac13}$$und finden einen Kandidaten für ein Extremum. Zur Prüfung dieses Kandidaten benötigen wir die Hesse-Matrix:$$H(x;y)=\begin{pmatrix}-6 & 0\\0 & -2\end{pmatrix}$$Sie hat die offensichtlichen Eigenwerte \((-6)\) und \((-2)\) und ist daher negativ definit. Daher ist unser Kandidat ein Maximum. Er ist sogar ein globales Maximum, weil die Hesse-Matrix nicht von \(x\) oder \(y\) abhängt.
Zusätzlich prüfen wir leicht nach, dass der Punkt \(\left(\frac13\,\big|\,-\frac13\right)\in D\) liegt. Also haben wir bereits das globale Maximum gefunden:$$\boxed{\text{Max}\left(\frac13\,\bigg|\,-\frac13\right)}$$
Alle anderen Extrema müssen nun Rand-Extrema sein, die sich am Rande des Definitionsbereichs befinden. Dieser wird dadurch eingeschränkt, dass die Punkte \((x;y)\in D\) sein müssen. Auf dem Rand von \(D\) gilt daher$$x^2+\frac{y^2}{3}=3$$Da nach Lagrange im Extremum der Gradient der zu optimierenden Funktion proportional zum Gradient der konstanten Nebenbedingung sein muss, gilt für alle Randextrema:
$$\operatorname{grad}f(x;y)=\lambda\operatorname{grad}\left(x^2+\frac{y^2}3-3\right)\implies\binom{-6x+2}{-2y-\frac{2}{3}}=\lambda\binom{2x}{\frac{2}{3}y}$$Wir divideren die Gleichung für die erste Koordinate durch die Gleichung für die zweite Koordinate und finden:$$\frac{-6x+2}{-2y-\frac{2}{3}}=\frac{\lambda\,2x}{\lambda\,\frac{2}{3}y}=\frac{3x}{y}\implies(-6x+2)\cdot y=\left(-2y-\frac23\right)\cdot3x\implies\underline{\underline{y=-x}}$$Diese Forderung setzen wir in die Randbedingung ein und finden:
$$3=x^2+\frac{y^2}{3}=x^2+\frac{(-x)^2}3=\frac{4x^2}{3}\implies x^2=\frac{9}{4}\implies x=\pm\frac{3}{2}$$Wir haben damit zwei Rand-Extrema gefunden:$$\boxed{R_1\left(-\frac32\,\bigg|\,\frac32\right)\quad;\quad R_2\left(\frac32\,\bigg|\,-\frac32\right)}$$Einsetzen liefert \(f(\vec r_1)=-\frac{76}{9}\) und \(f(\vec r_2)=-\frac{4}{9}\).
\(R_1\) ist also ein Rand-Minimum und \(R_2\) ist ein Rand-Maximum.
