Wronskian-Determinante zweier Lösungen der Differentialgleichung

Question

Aufgabe: Wronskian-Determinante

Finden Sie die Wronskian Funktion zweier Lösungen der Differentialgleichung:

x² y‘‘-x(x+2)y‘+(x+2)y=0

Problem/Ansatz:

Ich habe phi1 rausbekommen, da hätte ich x raus. Aber ich weiß nicht, wie ich phi2 bestimmen soll.

Answer 1

Hallo,

Ansatz: (Reduktionsverfahren nach d'Alembert)

y₁=x

y= u *x

y'= u'x +u

y''=u''x +2 u'

->in die DGL einsetzen, ich habe erhalten:

x³*u'' -x³ u'=0

Substitution:

z=u'

z'=u''

------>

x³(u'' -u')=0

z' -z=0  ->Trennung der Variablen

z= C₁ e^x

usw.

---->y =C₁ x e^x +C₂x

->Wronski Determinante :

\( W(x):=\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll}y_{1}(x) & y_{2}(x) \\ y_{1}^{\prime}(x) & y_{2}^{\prime}(x)\end{array}\right) \)

W(x)= x² e^x

Comments

Aber das passt leider nicht mit e^x wenn ich es einsetze.

---

Wo passt es denn nicht? Das Ergebnis ist richtig.

Oder lautet die genaue Aufgabe anders?