Sei \( V \) ein \( K \) -Vektorraum. Eine lineare Abbildung \( P: V \rightarrow V \) heißt Projektion, wenn \( P^{2}=P \) gilt.
(a) Zeige, dass die lineare Abbildung
$$ \begin{array}{l} P: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \\ \left(\begin{array}{l} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c} v_{1}+2 v_{3} \\ v_{2} \\ 0 \end{array}\right) \end{array} $$
eine Projektion ist.
Sei nun \( P: V \rightarrow V \) irgendeine Projektion. Zeige:
(b) Ist \( v \in P(V) \), so gilt \( P(v)=v \). Folgere \( \operatorname{Ker}(P) \cap P(V)=0 \).
(c) Für \( v \in V \) gilt \( v-P(v) \in \operatorname{Ker}(P) \). Folgere \( \operatorname{Ker}(P)+P(V)=V \).
Insgesamt gilt also \( V=\operatorname{Ker}(P) \oplus P(V) \).
(d) Ist \( P \neq 0 \), so ist id \( v-P \) nicht invertierbar.
(e) Für \( \lambda \neq 1 \) ist \( \operatorname{Ker}\left(\right. \) id \( \left._{V}-\lambda P\right)=0 \). Folgere, dass id \( v-\lambda P \) invertierbar ist.
