0 Daumen
798 Aufrufe

Aufgabe: Skizzieren Sie das Integrationsgebiet \( G \) und berechnen Sie das Doppelintegral \( \iint_{(G)} f(x, y) \mathrm{d} A \) in Polarkoordinaten für \( f(x, y)=\frac{x}{y} \) und \( G \) Kreissektor mit Radius \( r=2 \) und \( 45^{\circ} \leq \varphi \leq 90^{\circ} \).


Problem/Ansatz:

Hinweis: Führen Sie bei der äußeren Integration eine Substitution durch!

Avatar von

Vom Duplikat:

Titel: Skizzieren von Doppelintegral

Stichworte: doppelintegral,zeichnen,skizze

Aufgabe:

Skizzieren Sie das Integrationsgebiet \( G \)  \( \iint_{(G)} f(x, y) \mathrm{d} A \) in Polarkoordinaten für \( f(x, y)=\frac{x}{y} \) und \( G \) Kreissektor mit Radius \( r=2 \) und \( 45^{\circ} \leq \varphi \leq 90^{\circ} \).


Problem/Ansatz: Könnte mir jemand zeigen, wie das auszusehen hat (die Skizze)?

2 Antworten

0 Daumen

Aloha :)

In Polarkoordinaten können wir den Kreissektor \(G\) wie folgt abtasten:$$\vec r=\binom{x}{y}=\binom{r\cos\varphi}{r\sin\varphi}\quad;\quad r\in[0;2]\quad;\quad\varphi\in\left[\frac\pi4\,\big|\,\frac\pi2\right]$$Das Flächenelement in Polarkoordinaten ist:$$dA=r\,dr\,d\varphi$$Damit haben wir alles zusammen, um das Doppelintegral zu berechnen:

$$I=\iint\limits_G\frac xy\,dA=\int\limits_{r=0}^2\;\,\int\limits_{\varphi=\pi/4}^{\pi/2}\frac{r\cos\varphi}{r\sin\varphi}\,r\,dr\,d\varphi=\int\limits_0^2r\,dr\int\limits_{\pi/4}^{\pi/2}\frac{\cos\varphi}{\sin\varphi}\,d\varphi$$$$\phantom{I}=\left[\frac{r^2}2\right]_0^2\cdot\left[\ln\left|\sin\varphi\right|\right]_{\pi/4}^{\pi/2}=\frac{4}{2}\cdot\left(\ln(1)-\ln\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)\right)=2\ln(\sqrt2)=2\cdot\frac{1}{2}\ln(2)$$$$\phantom{I}=\ln(2)$$

Avatar von 152 k 🚀

Hallo ,

erstmal Danke die Antwort ist richtig, aber wie haben Sie das Feld berechnet?
Können Sie die Zeichnung für mich und den Bereich in der Zeichnung zur Veranschaulichung zeichnen?

0 Daumen

Hallo

den Kreissektor des Kreises mit Radius 2 der  oberhalb der 45° zur x-Achse und rechts von der y-Achse ist kannst du doch wohl zeichnen, dann die Grenzen von x=1/2√2 bis 0 y von x bist √(1-x^2

oder in Polarkoordinaten f(x,y)=cos(φ)/sin(φ) dA=rdφdr r von 0 bis 2,  φ von pi/4 bis pi/2

Grus lul

Avatar von 108 k 🚀

Hi

Also meinst du vom 0 bis 2 und danach mache ich vom pi/4 bis pi/2

und die Fläche A muss dazwischen sein.

Ja, hast du das denn noch nicht gezeichnet?

lul


Doch habe es jetzt gezeichnet, aber ich weiß nicht, ob es richtig oder falsch ist.

ich machte wie ich verstand.


LG

Hallo

das kann ich ja ach nicht wissen, ohne deine Zeichnung.

du schreibst "Also meinst du vom 0 bis 2 und danach mache ich vom pi/4 bis pi/2" das ist keine  vollständige Beschreibung.  man muss schon sagen was  von 0 bis 2 usw.

du könntest z. B, einfach dein Integral hinschreiben!

lul

Das Problem ist, dass es sich um eine Zeichnung handelt, also beschreibe die Beschreibung in Worten hahah.


LG

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community