Aloha :)
In Polarkoordinaten können wir den Kreissektor \(G\) wie folgt abtasten:$$\vec r=\binom{x}{y}=\binom{r\cos\varphi}{r\sin\varphi}\quad;\quad r\in[0;2]\quad;\quad\varphi\in\left[\frac\pi4\,\big|\,\frac\pi2\right]$$Das Flächenelement in Polarkoordinaten ist:$$dA=r\,dr\,d\varphi$$Damit haben wir alles zusammen, um das Doppelintegral zu berechnen:
$$I=\iint\limits_G\frac xy\,dA=\int\limits_{r=0}^2\;\,\int\limits_{\varphi=\pi/4}^{\pi/2}\frac{r\cos\varphi}{r\sin\varphi}\,r\,dr\,d\varphi=\int\limits_0^2r\,dr\int\limits_{\pi/4}^{\pi/2}\frac{\cos\varphi}{\sin\varphi}\,d\varphi$$$$\phantom{I}=\left[\frac{r^2}2\right]_0^2\cdot\left[\ln\left|\sin\varphi\right|\right]_{\pi/4}^{\pi/2}=\frac{4}{2}\cdot\left(\ln(1)-\ln\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)\right)=2\ln(\sqrt2)=2\cdot\frac{1}{2}\ln(2)$$$$\phantom{I}=\ln(2)$$
