Kriminalfal lösen: Exponentielle Abnahme

Question

Aufgabe:

Das Opfer wurde im Kühlhaus gefunden. Der Polizist stellte bei einer Kühlhaustemperatur von 5 grad eine Körpertemperatur von 28,2 grad fest. Nach einer Stunde betrug die Temperatur 24,8 grad.

Nach dem Newton‘schen Gesetz kann die Temperatur eines abkühlenden Körpers mit der Formel T(t)=5+32*b^t berechnet werden. Skizziere den Verlauf des Graphen. Ermittle dazu T(0) und die Asymptote.

Problem/Ansatz:

Ich habe für b jetzt 0,853 eingesetzt. Wenn ich die Formel nun in den Taschenrechner eingebe, dann bildet er nur eine gerade Linie bei 37 grad. Wie kann das sein, es soll doch ein exponentielles Wachstum sein? Was mache ich falsch? Als asymptote habe ich übrigens 5 und als T(0)=28,2 .

Wie finde ich jetzt heraus wie der Graph dann aussieht?

Liebste grüße

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Das Kühlhaus, die tote Leiche und die Exponentialfunktion

Stichworte: funktionsgleichung

Hallo, ihr Lieben,

Ich verstehe die Aufgabe/ den Ansatz nicht. Kann einer mir bitte weiter helfen?

Das Opfer wurde im Kühlhaus gefunden. Bei der Kühlhaustemperatur von 5°C ist die Körpertemperatur 28,2°C.

Eine Stunde später ist die Körpertemperatur 24,8°C.

Mit der Formel T(t) = 5 + 32*b^t kann die T berechnet werden.

a) Skizziere den Verlauf des Graphen und ermittle dazu T(0) und die Asymptote.

b) Der Zeitpunkt t des Todes ist unbekannt. Der Arzt kann den Abkühlungsfaktor b berechnen.

Kommentiere die Rechnung:

(1)       T(t)  =  32*b^t + 5 = 28,2

(2)       T(t)  =  32*b^(t+1) 5 = 24,8

 >>>>>>  b = 0,853

Ich verstehe nur Bahnhof!

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Diese Frage wurde schon einmal gestellt und beantwortet:

https://www.mathelounge.de/851315/kriminalfal-losen-exponentielle-abnahme

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Danke für den Hinweis.

Ja, vor der Zahl 5 steht noch Plus Zeichen.

(1)      T(t)  =  32*bt + 5 = 28,2

(2)      T(t)  =  32*b^(t+1) + 5 = 24,8

>>>>>>  b = 0,853

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Jetzt ist Gleichung (1) falsch abgeschrieben, aber ich denke ich habe es begriffen.

Answer 1

Das ist eine begrenzte Abnahme,weil ja die Körpertemperatur abnimmt!

Hat die Körpertemperatur die Umgebungstemperatur angenommen,dann is Feierabend → Körpertemperatur kann nicht tiefer sinken,eil ja die Wärmeenergie immer von der höheren Temperatur zur niedrigeren Temperatur fließt.

1) eine Zeichnung machen mit der Zeitlinie → x-Achse ist die Zeitachse

bei t=0 (Ursprung) gechah der Mord

2) die Punkte P1(t1/28,2) und P2(t2/24,8)  eintragen

1) T(t1)=28,2=5+32*b^(t1) → 32*b^(t1)=28,2-5=23,2

2) T(t2)=24,8=5+32*b^⁽t2) → 32*b^(t2)=24,8-5=19,8

3) t2=t1+1

1) dividiert durch 2)

(32*b^(t1)]/[32*b^(t2)]=b^(t1)/b^(t2)=b^(t1-t2)=23,2/19,8

mit 3)

b^(t1-(t1+1))=b^(t1-t1-1)=b^(-1)=1/b^1=1/b=23,2/19,8

b=19,8/23,2=0,8534..

T(t)=5+32*0,8534^(t)

bei t=0 →T(0)=5+32*1=37°  → Körpertemperatur

Todeszeitpunkt T(t1)=28,2=5+32*0,8534^(t1)

28,2-5=23,2=32*0,8534^(t1)

0,8534^(t1)=23,2/32=0,725  logarithmiert

ln(0,8534^(t1))=t1*ln(0,8534)=ln(0,725) Logarithmengesetz log(a^(x)=x*log(a)

t1=ln(0,725)/ln(0,8534)=2,028..Std

Der Mord geschah als 2,028 Stunden vor der Temperaturmessung t1  T(t1)=28,2°

Asymptote,wenn die Zeit t gegen unendlich geht → 0,8534^(unendlich)=0  sehr sehr klein

also bei T=5°

~plot~5+32*0,8534^x;28,2;5;[[-1|30|0|40]];x=2,028~plot~

Comments

Super, vielen lieben Dank für ihre Antwort. Jedoch hatten wir bis jetzt noch keine Logarithmen… Gibt es dafür auch einen anderen rechenweg? Weil so verstehe ich es nicht ganz

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bei t=0 geschieht der Mord und da ist die Körpertemperatur T(0)=37°

1.te Messung t1 → T(t1)=...

2.te Messung t2 → T(t2)=..

3) t2=t1+1

aus diesen Angaben muss sich dann die Gleichung ergeben

Versuch das mal

Answer 2

Für b = 0,853 entsteht dieser Graph.

Vielleicht hast du dein Display-Fenster falsch eingestellt?

Comments

Körpertemperatur ist bei t=0 → 5+32=37°

T(t)=5+32*0,8534^(t)

Wahrscheinlich ein kleiner Tippfehler.

Answer 3

Kommentiere die Rechnung:

Gleichung (2) ist falsch abgeschrieben worden. Ob bereits in der Aufgabenstellung oder von Dir, weißt nur Du.

Comments

Nach Deiner Korrektur:

a) Skizziere Verlauf ... Asymptote

Zum Todeszeitpunkt t = 0 ist die Temperatur laut Formel T(0) = 5+32 = 37 Grad Celsius, ohne dass man den Wert von b schon kennt, denn jede nullte Potenz ist gleich 1. Der Faktor b muss kleiner als 1 sein, da die Körpertemperatur abnimmt, denn die Leiche liegt in einem Kühlhaus. Mit wachsendem t strebt der Faktor b^t darum gegen Null, und die Körpertemperatur nähert sich laut Formel asymptotisch dem Wert 5 °C (rot eingezeichnet). Das macht Sinn, denn es ist die Kühlhaustemperatur.

b) Kommentiere die Rechnung

Die Formel hat zwei Unbekannte t und b und mit zwei Messwerten und der Lösung des Systems der beiden Gleichungen wird der Wert der Zerfallskonstanten b (hier "Abkühlungsfaktor" genannt) und der Todeszeitpunkt t festgestellt.

Lösung: b = 99 / 116 = 0,853...

              t = ...

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Vielen Dank. Du kannst besser erklären als mein Mathe Lehrer.

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Du kannst besser erklären als mein Mathe Lehrer.

Vielen Dank. Wobei das alles nicht so eindeutig ist. Er meint vielleicht, bei ihm würdest Du weniger gut aufpassen...