Hallo,
ich verwende den Satz vom regulären Wert.
Ssetze \(f(A)=AA^T\) für \(A\in \mathbb{R}^{n\times n}\). Dann ist \(\operatorname{O}(n)=\{A\in \mathbb{R} : A A^T=E\}=f^{-1}(E)\). Zu zeigen ist nun, dass \(df'(A)\) surjektiv ist. Dafür müssen wir aber den Bildbereich einschränken.
Hilfreich ist die Einsicht, dass wegen \((AA^T)^T=(A^T)^TA^T=AA^T\) nun \(f(A)=AA^T\) immer eine symmetrische Matrix ist. Ist also \(\mathcal{S}=\{A\in \mathbb{R}^{n\times n} : A^T=A\}\) die Menge der symmetrischen Matrizen, so kann man \(f: \mathbb{R}^{n\times n}\to \mathcal{S}, \, A\to AA^T\) betrachten.
Eine symmetrische Matrix hat genau \(\frac{n(n+1)}{2}\)-Einträge. Wir können \(\mathcal{S}\) "vektorisieren" und aufassen als \(\mathbb{R}^{\frac{n(n+1)}{2}}\), denn \(\mathbb{R}^{\frac{n(n+1)}{2}}\cong \mathcal{S}\) .
Es gilt dann für \(A\in \operatorname{O}(n)\) und \(B\in \mathbb{R}^{n\times n}\):$$\begin{aligned}f'(A)B&=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(A+hB)-f(A)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{AA^T+h(AB^T+BA^T)+h^2BB^T-AA^T}{h} \\ &=AB^T+BA^T\end{aligned}$$ Die Surjektivität von \(f'(A)\) lässt sich wie folgt begründen:
Sei \(B\in \mathcal{S}\), dann ist \(\frac{1}{2}BA\in \mathbb{R}^{n\times n}\) mit:$$f'(A)\left(\frac{1}{2}BA\right)=\frac{1}{2}(A(BA)^T+BAA^T)=\frac{1}{2}(AA^TB+BAA^T)=B$$ Damit ist die Surjektivität von \(f'(A)\) gezeigt. Nach dem Satz vom regulären Wert ist damit \(\operatorname{O}(n)\) eine \(n^2-\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\)-dimensionale Untermannigfaltigkeit des \(\mathbb{R}^{n\times n}\).
