Text erkannt:
\( \begin{array}{lll}\text { Aufgabe 1 (Induktionen) } & \text { (6 Punkte) }\end{array} \)
1. Zu \( n \in \mathbb{N}_{0} \) seien natürliche Zahlen \( a_{n} \) und \( b_{n} \) definiert durch
\( a_{0}:=0, \quad b_{0}:=1 \quad \) sowie \( \quad a_{n+1}:=b_{n}-2 \cdot a_{n}, \quad b_{n+1}:=3 \cdot a_{n}+4 \quad \) für beliebige \( n \in \mathbb{N}_{0} \)
Zeigen Sie mit Induktion, dass für alle \( n \in \mathbb{N}_{0} \) gilt: \( \left(a_{n}=n \wedge b_{n}=3 \cdot n+1\right) \)
2. Zu \( n \in \mathbb{N}_{0} \) seien natürliche Zahlen \( c_{n} \) definiert durch
$$ c_{0}:=0 \quad \text { sowie } \quad c_{n}:=2 \cdot c_{n-1}+1 \quad \text { für } n \geq 1 $$
Zeigen Sie (mit Induktion...) oder widerlegen Sie (mit Gegenbeispiel):
a) Für alle \( n \in \mathbb{N}_{0} \) gilt \( c_{n} \leq 3^{n}-1 \).
b) Für alle \( n \in \mathbb{N}_{0} \) gilt \( n^{3} \leq c_{n} \).
Problem/Ansatz:
mir fällt es schwer, zu 1. einen geeigneten Ansatz zu formulieren. Muss ich zwei getrennte Induktionsbeweise zu a und b führen und die Ergebnisse dann am Ende zusammenführen oder kann ich das in einer Beweisführung erledigen?
