die Tangente ist eine Gerade der Form y=f(x)=m*x+b → geht durch P(0/-1)
f(0)=-1=m*0+b → b=-1
Tangentengleichung yt=ft(x)=f´(xo)*(x-xo)+f(xo)
f(x)=x-1/x → f´(x)=1+1/x²
eingesetzt
ft(x)=(1+1/xo²)*(x-xo)+(xo-1/x)=(....)*x-xo*(1+1/xo²)+xo-1/xo=m*x-xo-1/xo+xo-1/xo
ft(x)=m*x-2/xo → b=-1=-2/xo
xo=2
f´(2)=m=1+1/2²=1+1/4=5/4
yt=ft(x)=5/4*x-1
Infos,vergrößern und/oder herunterladen
Text erkannt:
Tangente/Normale an \( f(x) \) Sehr oft vird die Tangentengleichung und/oder die Sormalengleichung an der Punktion \( f(x) \) gesucht. Die Stelle,vo die Tangente oder Normale liegen soll, vird oft \( m t \)
d. bexelehnet
Tangente und Normale sind eine Gerade der Porm \( y=f(x)=m^{4} x+b \)
Formeln sindt "Tangentengleichung" \( y t=f t(x)=f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*}(x-x o)+f\left(x_{0}\right) \)
"Normaleng leichung" \( y n=f n(x)=-1 / f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*}\left(x-x_{0}\right)+f(x 0) \)
Her leitung Geradengleichung \( y=f(x)=\mathbb{m}^{*} x+b \) und xo ist die Stelle, wo die Tangente/sormale 1iegen soll. gegeben ist die Punktion \( \mathrm{f}(x) \). Steigung "w" an der Stel1e "xo" ist m-f' (xo) diese ist die 1,te Ableitung der Funktion \( f(x) \), also \( f^{\prime}(x) \). erg1bt yt=ft \( (x)=f^{\prime}(x 0)^{*} x+b \) mit \( x=x \circ \) und glefchgesetzt \( f\left(x_{0}\right)=y t \)
\( f(x 0)=f^{\prime}(x 0)^{*} x o+b \) ergibt \( b=f\left(x_{0}\right)-f^{\prime}\left(x_{0}\right)=x_{0} \)
also \( y t=f t(x)=f^{\prime}(x 0)^{*} x+f\left(x_{0}\right)-f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*} x o=f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*}(x-x 0)+f\left(x_{0}\right) \)
selber Rechenwee wit der Normalengleichung mit \( y=f(x)=\ln ^{*} x+b \)
Bedingung fur eine Normale \( m 2=-1 / \mathrm{m} 1 \) hier ist \( \mathrm{m} 1=\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{xo}) \)
efngesetzt \( y n=f n(x)=-1 / f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*} x+b \) mit \( b=f(x 0)+1 / f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{* x_{0}} \)
ergibt \( y n=f n(x)=-1 / f^{\prime}(x 0) * x+f(x 0)+1 / f^{\prime}(x 0)^{*} x 0=-1 / f^{\prime}\left(x_{0}\right) *(x-x 0)+f\left(x_{0}\right) \)
\( \underline{\text { Ubungsbeispie1 }} \) gegeben:Die Punktion \( y=f(x)=x^{2} \) ist eine Parabel
gesucht:D1e Tangentengleichurg und die Normalengleichung an der Stelle \( x_{0}=2 \) Lósung: \( f(x)=x^{2} \) abgeleftet \( f^{\prime}(x)=2^{*} x \) mit \( x 0=2 \) ergibt \( f(2)=2^{2}=4 \) \( f^{\prime}(2)=2 * 2=4 \) Werte in die Formeln eingesetzt.
"Tangentengleichung" \( y t=f t(x)=4^{*}(x-2)+4=4^{4} x-8+4=4 * x-4 \) "Sormalengleichung" \( y n=f n(x)=-1 / 4^{*}(x-2)+4 m-1 / 4^{*} x+1 / 2+4=-1 / 4 * x+4,5 \)
