Finden Sie zwei reelwertige Folgen (an) und (bn), so dass Mn:=anXn+bn ein Martingal definiert.

Question

Aufgabe:

Sei (Ω,A,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und (F_n)_n∈ℕ eine Filtration und sei (X_n)_n∈ℕ eine adaptierte Folge integrierbarer Zufallsvariablen. Nehmen Sie an, dass reelwertige Folgen u_n und v_n existieren, sodass E[X_n+1lF_n]=u_nX_n+v_n. Finden Sie zwei reelwertige Folgen (a_n) und (b_n), so dass M_n:=a_nX_n+b_n ein Martingal definiert.

Problem/Ansatz:

ich fnde leider keine Lösung zu dieser Aufgabe. Ich finde nichtmal einen Ansatz. Ich bin wirklich verzweifelt. kann mir eventuell jemand weiterhelfen? Lieben Dank und liebe Grüße

Answer 1

Hallo,

schreibe die Martingalbedingung für \(M_n\) hin:

\( \mathbb{E}(M_{n+1}|\mathcal{F_n}) = \mathbb{E}(a_{n+1}X_{n+1} + b_{n+1}|\mathcal{F_n}) = a_{n+1}u_nX_n + a_{n+1}v_n + b_{n+1} \)

\( \overset{!}{=} a_nX_n+b_n \)

Daraus folgen die Rekursionsgleichungen \( a_{n+1} = a_nu_n^{-1}, \, b_{n+1} = b_n-a_{n+1}v_n \), welche durch die expliziten Darstellungen \( a_n = \prod_{k = 1}^{n-1}u_k^{-1}, \,\,a_1 = 1 \) und \( b_n = -\sum_{k=1}^{n-1}a_{k+1}v_{k}, \,\,b_1 = 0\) gegeben sind.