Analytische Geometrie: Teich im Garten

Question

Aufgabe:

In einem Garten wurde ein Teich nach der unten gezeigten Skizze angelegt. Die Kante AB ist 5 m und die Kante AD 4m lang. Die Tiefe beträgt im Punkt E 1m und im Punkt H 2m.

i) Ein runder Strahler soll so unterhalb der Wasseroberfläche angebracht werden, dass sein Mittelpunkt M die Koordinaten (2/1/-0,5) hat. Berechnen Sie den Abstand des Strahlers vom Boden des Teichs.

ii) Vom Punkt M strahlt das Licht geradlinig in Richtung des Vektors \( \vec{u} \)\( \begin{pmatrix} 1\\5\\2 \end{pmatrix} \). Überprüfen Sie rechnerisch, ob dieser Lichtstrahl eine im Garten im Punkt P(3/6/0) aufgestellte 2m hohe Statue trifft. (Die Lichtbrechung und die Breite der Statue bleiben unberücksichtigt)

iii) Ein Wasserspeier wurde so am Rand des Teichs aufgestellt, dass er vom Punkt W(0/0/0,5) aus einen parabelförmigen Wasserstrahl abgibt, der genau in der x₂-x₃-Ebene liegt und durch die Gleichung x3=-\( \frac{1}{3} \) x₂ ^2+x₂+0,5 beschrieben werden kann. Bestimme den Abstand des höchsten Punktes dieses Wasserstrahls vom Beckenrand AB.

Problem/Ansatz:

A(0/0/0); B(0/5/0); C(4/5/0); D(4/0/0); E(0/0/-1); F(0/5/-1); G(4/5/-2); H(4/0/-2)

i) hätte ich den Abstand vom Punkt M zur Ebene E₁ bestimmt, welche mit den Punkten E,F,G und H festgelegt wird.

ii) hier hätte ich die Geradengleichung des Lichtstrahls gebildet, wobei M der Stützvektor ist und \( \vec{u} \) der Richtungsvektor. Dann hätte ich eine Punktprobe mit dem Punkt P(3/6/2) durchgeführt.

iii) hier würde ich das Maximum der quadratischen Funktion bestimmen. Dann die Geradengleichung AB bestimmen. Abschließend dann den Abstand vom Maximum zur Geraden AB berechnen.

Sind meine Punkte A-H und meine Ansätze richtig? Vielen Dank im voraus.

Comments

.. ist jetzt schon zu spät für 'n Antwort. Ich lasse Dir nur noch das Bild da

(drauf klicken)

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Wow vielen Dank dafür.

Mein Ansatz für i) wäre ja dann richtig, komme nämlich auch auf 0.97.

Für ii) wäre mein Ansatz dann falsch, denn mit meinem Ansatz hätte ich raus, dass der Punkt (3/6/2) nicht auf der Geraden des Lichtstrahls liegt. Laut ihrer Skizze trifft der Lichtstrahl jedoch die Statue. Mein neuer Ansatz wäre: eine Geradengleichung für die Statue aufstellen, Stützvektor wäre P(3/6/0) und Richtungsvektor wäre (3/6/2). Dann würde ich überprüfen, ob sich die beiden Geraden schneiden, wobei der Parameter dann zwischen 0 und 1 liegen muss.

War mein Ansatz für iii) denn richtig?

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Für ii) wäre mein Ansatz dann falsch, denn mit meinem Ansatz hätte ich raus, dass der Punkt (3/6/2) nicht auf der Geraden des Lichtstrahls liegt. Laut ihrer Skizze trifft der Lichtstrahl jedoch die Statue.

Den Ansatz ist nicht ganz falsch. Der Lichtstrahl \(l\) trifft die Statue - Ja! Der Strahl trifft sie aber nicht im Punkt \((3|6|2)\) sondern im Punkt$$l: \quad \vec x(t=1) = \begin{pmatrix}2\\ 1\\ -0,5\end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix}1\\ 5\\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\ 6\\ 1,5\end{pmatrix}$$

ii) Dann hätte ich eine Punktprobe mit dem Punkt P(3/6/2) durchgeführt.

So eine Statue ist doch kein Punkt, sondern 2m hoch. Richtig wäre es gewesen, den Schnittpunkt des Lichtstrahls mit der Strecke von \((3|6|0)\) bis \((3|6|2\,\text m)\) zu berechnen.

Der Strahl trifft also so etwa in 'Brusthöhe'. Man kann also davon ausgehen, dass der obere Teil der Statue gut ausgeleuchtet ist. So ein Scheinwerfer hat ja auch einen gewisse Streuung.

War mein Ansatz für iii) denn richtig?

iii) hier würde ich das Maximum der quadratischen Funktion bestimmen.

das auf jeden Fall. Das Maximum ist bei \(x_2=1,5\)

Dann die Geradengleichung AB bestimmen. Abschließend dann den Abstand vom Maximum zur Geraden AB berechnen.

Ist nicht falsch, aber überflüssig. Die Strecke \(AB\) verläuft waagerecht und hat stets das Niveau \(x_3=0\) und \(x_1=0\). Somit ist die \(x_3\)-Koordinate des höchsten Punkts des Wasserstrahls bereits der gesuchte Abstand.

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Vielen lieben Dank für Ihre Hilfe.

Ich würde Ihre Antwort als beste auswählen, geht aber leider nicht, da Sie nur kommentiert haben. Kann man das ändern?

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Kann man das ändern?

:-) kann man schon, wenn ich den Kommentar zur Antwort mache. Muss man aber nicht. Der Wille allein ist auch ok!

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Super Einstellung.

Wünsche Ihnen weiterhin viel Spaß dann!

Answer 1

Deine Punkte sind richtig,hab ich auch raus.

Deine Ansätze sind soweot auch richtig

Dreipunktgleichung der Ebene E: x=a+r*(b-a)+s*(c-a)

A(ax/ay/az) → Ortsvektor a(ax/ay/az)

B(...) → Ortsvektor b(bx/by/bz)

C(....) → Ortsvektor c(cx/cy/cz)

Richtungsvektor m von Punkt A nach Punkt B → b=a+m → AB=m=b-a

AC=m=c-a)

Abstandsformel Punkt Ebene d=|p-a)*no|

Infos,vergrößern und/oder herunterladen

Comments

Erstmal Dankeschön!

Aber laut der Skizze oben von Werner wäre mein Ansatz für ii) doch dann falsch oder irre ich mich? Bei mir kommt nämlich raus, dass der Punkt P(3/6/2) nicht auf der Geraden liegt. In der Skizze sieht man aber, dass die Statue getroffen wird

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Solche Aufgaben sind nicht besonders schwer,aber immer viel Rechnerei und man muss immer eine Zeichnung machen,damit man einen Überblick hat.

Eine Zeichnung kann ich hier nicht machen und die Rechnerei ist mir zu viel und auch das Risiko für Rechenfehler ist zu hoch,wenn ich das ohne Zeichnung machen muss.

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alles gut,

ich danke Ihnen trotzdem für Ihre Hilfe!

Answer 2

Meine Vergleichsergebnisse

i) 0.9701 m

ii) ja im Punkt (3 | 6 | 1.5)

iii) 1.25 m

Comments

bei i) komme ich auf 0.97.

Die Formel die ich dabei benutzt habe ist die auf dieser Seite:

https://abiturma.de/mathe-lernen/geometrie/abstand/abstand-punkt-ebene.

Wie haben sie die 3.032 berechnet?

ii)

ja im Punkt (3 | 6 | 1.5)

Wie sind sie auf dieses Ergebnis gekommen?

Mein neuer Ansatz wäre: eine Geradengleichung für die Statue aufstellen, Stützvektor wäre P(3/6/0) und Richtungsvektor wäre (3/6/2). Dann würde ich überprüfen, ob sich die beiden Geraden schneiden, wobei der Parameter dann zwischen 0 und 1 liegen muss.

Da kriege ich aber nur raus, dass die Geraden Windschief sind.

Könnten sie mir bitte erklären, wie man auf das Ergebnis kommt?

iii) hab ich das selbe raus.

S(1,5/1,25). Der Abstand zu AB ist dann einfach die y-Koordinate, da AB auf der x-Achse liegt.

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Mein neuer Ansatz wäre: eine Geradengleichung für die Statue aufstellen, Stützvektor wäre P(3/6/0) und Richtungsvektor wäre (3/6/2).

Der Richtungsvektor ist die Differenz zwischen Standpunkt und 'Kopf' der Statue. Also ist der Richtungsvektor \((0|\,0\,|2)\)

iii) hab ich das selbe raus.
S(1,5/1,25). Der Abstand zu AB ist dann einfach die y-Koordinate, da AB auf der x-Achse liegt.

Das Maximum liegt bei \(S(0\,|1,5|\, 1,25)\) und der Abstand ist die \(x_3\)-Koordinate - \(s_3=1,25\)

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Verstehe,

Dankesehr!

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bei i) komme ich auf 0.97.

Deine Antwort ist richtig. 3 ist natürlich Schwachsinn, da der Teich ja selber nur maximal 2 m tief ist.

Ich hatte ein Tippfehler in der Rechnung.

Wie sind sie auf dieses Ergebnis (bei ii) gekommen?

[2, 1, -0.5] + r·[1, 5, 2] = [3, 6, z] → z = 1.5 ∧ r = 1 → Die Statue wird im Punkt (3 | 6 | 1.5) getroffen.

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Vielen Dank!