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Sei \( (V,\langle\cdot, \cdot\rangle) \) ein metrischer Raum mit Basen \( S=\left\{s_{1}, \ldots, s_{n}\right\} \) und \( T=\left\{t_{1}, \ldots, t_{n}\right\} \). Weiter seien \( A=\left(\left\langle s_{i}, s_{j}\right\rangle\right)_{i, j} \) und \( B=\left(\left\langle t_{i}, t_{j}\right\rangle\right)_{i, j} \in K^{n \times n} \) gegeben.
(a) Zeigen Sie die Matrixgleichung \( \left(x_{S}\right)^{\mathrm{tr}} \cdot A \cdot \overline{y_{S}}=\langle x, y\rangle \).
(b) Zeigen Sie \( B=C_{S, T}^{\operatorname{tr}} A \overline{C_{S, T}} \).
(c) Eine Matrix \( M \in \mathbb{C}^{n \times n} \) heißt Hermitesch, wenn \( M=\bar{M}^{\text {tr }} \) gilt.
Sei \( S=\left\{s_{1}, \ldots, s_{n}\right\} \) eine fest gewählte Basis. Sie dürfen ohne Beweis benutzen, dass
$$ \langle x, y\rangle_{A}:=\left(x_{S}\right)^{\mathrm{tr}} \cdot A \cdot \overline{y_{S}} \quad \forall x, y \in V $$
eine Hermitesche Form auf \( V \) definiert.
Zeigen Sie, dass die Zuordnungen
$$ \langle\cdot, \cdot\rangle \mapsto\left(\left\langle s_{i}, s_{j}\right\rangle\right)_{i, j} \quad \text { und } \quad A \mapsto\langle\cdot, \cdot\rangle_{A} $$
zwischen Hermiteschen Formen und Hermiteschen Matrizen bijektiv und zueinander invers sind.
