Wie komme ich auf die Eigenwerte der Inversen?

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Matrix A:

A=

2	0	-3
-6	1	-10
6	0	11

Die Eigenwerte: 1,5,8 habe ich bereits bestimmt.
Nun soll ich die Eigenwerte der Inverse A^-1.
x={?,?,?}
Wie komme ich auf die Eigenwerte der Inversen?

Answer 1

\(a\) ist ein Eigenwert von \(A\), wenn es einen Vektor \(v\neq 0\) gibt, so dass

        \(A\cdot v = a\cdot v\)

ist.

        \(\begin{aligned} A\cdot v & =a\cdot v &  & |\cdot A^{-1}\\ v & =A^{-1}\cdot a\cdot v &  & \text{Linearität der Matrix-Vektormultiplikation}\\ v & =a\cdot A^{-1}\cdot v &  & |\cdot\frac{1}{a}\\ \frac{1}{a}\cdot v & =A^{-1}\cdot v \end{aligned}\)

Oder du bestimmst die Nullstellen des charackteristischen Polynoms von \(A^{-1}\).