Aloha :)
Die Taylor-Reihe einer Funktion \(f(\vec x)\) an der Stelle \(\vec x_0\) lautet:$$f(\vec x)=e^{\Delta\vec x\vec\nabla}f(\vec x_0)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{((\vec x-\vec x_0)\vec\nabla)^n}{n!}f(\vec x_0)$$Davon brauchen wir die ersten 3 Summanden bis \(n=2\):$$f(\vec x)\approx f(\vec x_0)+(\vec x-\vec x_0)\vec\nabla f(\vec x_0)+\frac{1}{2}\left((\vec x-\vec x_0)\vec\nabla\right)^2f(\vec x_0)$$
Hier ist \(\vec x=\binom{t}{x}\) und \(\vec x_0=\binom{0}{0}\), sodass
$$f(t;x)\approx f(0;0)+\left(t\,\frac{\partial}{\partial t}+x\,\frac{\partial}{\partial x}\right)f(0;0)+\frac{1}{2}\left(t\,\frac{\partial}{\partial t}+x\,\frac{\partial}{\partial x}\right)^2f(0;0)$$$$\phantom{f(t;x)}=f(0;0)+t\,\frac{\partial f(0;0)}{\partial t}+x\,\frac{\partial f(0;0)}{\partial x}+\frac{t^2}{2}\,\frac{\partial^2f(0;0)}{\partial t^2}+tx\,\frac{\partial^2f(0;0)}{\partial t\,\partial x}+\frac{x^2}2\,\frac{\partial^2f(0;0)}{\partial x^2}$$
Jetzt brauchen wir nur noch abzuleiten und danach \((t;x)=(0;0)\) einzusetzen. Die Freude an der Rechnung möchte ich dir aber nicht nehmen ;) Nee, im Ernst, das wäre für mich viel Schreibarbeit. Schau mal bitte, ob du die partiellen Ableitungen alleine hinkriegst. Hier zur Kontrolle das Ergebnis:
$$f(t;x)\approx\underbrace{f(0;0)}_{=1}+t\,\underbrace{\frac{\partial f(0;0)}{\partial t}}_{=-2}+x\,\underbrace{\frac{\partial f(0;0)}{\partial x}}_{=0}+\frac{t^2}{2}\,\underbrace{\frac{\partial^2f(0;0)}{\partial t^2}}_{=0}+tx\,\underbrace{\frac{\partial^2f(0;0)}{\partial t\,\partial x}}_{=-2}+\frac{x^2}2\,\underbrace{\frac{\partial^2f(0;0)}{\partial x^2}}_{=-1}$$$$f(t;x)\approx1-2t-2tx-\frac{x^2}2\quad\implies\quad f(0,1;0,1)\approx0,775$$
Wenn du bei den partiellen Ableitungen Hilfe brauchst, melde ich bitte nochmal in den Kommentaren ;)
