Welchen Wert darf der Marktpreis nicht unterschreiten, damit dieses Unternehmen langfristig am Markt existieren kann?

Question

Aufgabe:

Gegeben sei folgende Kostenfunktion eines Unternehmens: \( C(y)=y^{3}-3 y^{2}+10 y \). Welche Grenze
darf der Marktpreis nicht unterschreiten, damit dieses Unternehmen langfristig am Markt existieren kann?
(a) \( p=\frac{31}{4} \)

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass a Richtig ist, verstehe aber nicht den Rechenweg.... Vll kann mir ja jemand helfen, wäre echt lieb :)

Answer 1

Gesucht ist die Langfristige Preisuntergrenze.

k(x) = (x^3 - 3·x^2 + 10·x)/x

k'(x) = 0 → x = 1.5

k(1.5) = 7.75

Skizze

~plot~ x^3-3x^2+10x;7.75x;[[0|3|0|30]] ~plot~

Comments

Danke für deine Antwort.

Man muss anfangs durch x teilen, um die Stückkosten zu berechnen?

Mein k' wäre entsprechend 3x^2+6x+10
Weiter komme ich leider nicht..

Danke vorab!

Answer 2

Das Minimum der Stückkosten erreicht man bei einer Produktionsmenge von 1,5:

Mindestens dieser Verkaufspreis muss erzielt werden.

Comments

Aber wie kommt man auf die 1,5?

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Du bildest die 1. Ableitung der Stückkostenfunktion, setzt sie = 0 und löst nach y auf.

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Das weiß ich, aber ich komme trotzdem leider nicht drauf. Wäre es möglich, dass du es vorrechnest?

Das wäre extrem hilfreich. Danke vorab!

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Ich nenne die Stückkostenfunktion c.

\(C(y)=y^{3}-3 y^{2}+10 y \\ c(y)=y^2-3y+10\\c'(y)=2y-3\\ 2y-3=0\\ 2y=3\\ y=\frac{3}{2}=1,5\)

jetzt klar?

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Super, vielen Dank!

Der erste Übergang ist mir noch etwas unklar leider, wohin verschwindet das y^3 bzw. das y^2 vom ersten auf den zweiten Schritt?

Ach du hast es nur schon zusammengefasst, oder?

Also 3y^2-6y = y^-3y?

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allgemeine Kostenfunktion K(x), dann ist die Stückkostenfunktion \(k(x)= \frac{K(x)}{x} \)

Ich habe also C(y) durch y geteilt.