Ungleichung mit Exponent

Question

Aufgabe:

Gegeben sind natürliche Zahlen 0<a<b<c<d und ein reeller Exponent α>1. Zeige, dass

$$(d-a)^\alpha-(d-c)^\alpha+(c-b)^\alpha+(b-a)^\alpha>0.$$

Problem/Ansatz:

Ich stehe grade völlig auf dem Schlauch. Es kann so schwer nicht sein, aber ich finde grade keine Abschätzung, mit der ich was anfangen kann. Es ist völlig klar, dass der Abstand von a und d am größten ist und alle anderen Abstände dominiert. Durch den Exponenten größer als 1 wird das dann auch echt größer 0 sein. Aber wie argumentiere ich hier? Muss ich hier irgendwie die Konvexität von $$x\mapsto x^\alpha$$ für positive Zahlen benutzen?

Answer 1

Hallo

wegen der gegebenen Reihenfolge sind all Klammer >0  die erste ist die größte,   mit alpha>1 bleibt das so. Also ist das trivial.

Gruß lul

Comments

Ich sehe grade, dass in der Aufgabenstellung ein Fehler ist. Es sollte lauten

$$(d-a)^\alpha-(d-c)^\alpha+(c-b)^\alpha-(b-a)^\alpha>0.$$

Und natürlich ist die Aussage in gewisser Weise trivial. Aber mit welchen Rechenregeln kann ich das rigoros zeigen?

$$(d-a)^\alpha=(d-c+c-b+b-a)^\alpha\stackrel{?}{>}(d-c)^\alpha+(c-b)^\alpha+(b-a)^\alpha$$

Gilt diese Abschätzung? Und wenn ja, warum? Das fällt ja nicht vom Himmel. Für alpha = 1 wäre sie ja sogar falsch.

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Das würde ich SO nicht machen.

Die korrigierte Fassung ergibt umgeformt

\((d-a)^\alpha+(c-b)^\alpha>(d-c)^\alpha +(b-a)^\alpha\)

Versuche mal, damit weiterzukommen.

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Puh, das einzige, was mir dazu einfällt, ist zu sagen, dass $$(d-a)^\alpha>(b-a)^\alpha,$$ weil $$d-a>b-a>0$$ und $$x\mapsto x^\alpha$$ monoton ist. Aber was ich mit den anderen beiden Summanden machen soll? Keine Ahnung...

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Für x,y>0 und α>1 ist (x+y)^α > x^α + y^α. Um dies zu sehen wählen wir β=1-α<0 und rechnen

$$(x+y)^\alpha=(x+y)^{1-\beta}=(x+y)(x+y)^{-\beta} \\ =x(x+y)^{-\beta}+y(x+y)^{-\beta} \geq xx^{-\beta}+yy^{-\beta}=x^\alpha+y^\alpha$$

aufgrund der Monotonie der Abbildung

$$x\mapsto x^{-\beta}.$$

Die obige Abschätzung gilt auch für drei oder mehr Summanden, also rechnen wir

$$(d-a)^\alpha -(d-c)^\alpha +(c-b)^\alpha -(b-a)^\alpha \\ = (d-c+c-b+b-a)^\alpha-(d-c)^\alpha +(c-b)^\alpha -(b-a)^\alpha \\ \geq (d-c)^\alpha + (c-b)^\alpha + (b-a)^\alpha -(d-c)^\alpha +(c-b)^\alpha -(b-a)^\alpha \\ = 2(c-b)^\alpha >0.$$