Wie lang (exakt) ist die Seite des Quadrats?

Question

24 Einheitskreise werden in dieser Weise in einem Quadrat angeordnet:

Wie lang (exakt) ist die Seite des Quadrats?

Answer 1

6+(2+2√3)/√2

=6+√2(1+√3)

=6+√2+√6

≈9.8637033051562731469989727989155894705356193560336182016093723052

:-)

Erläuterung:

Ich betrachte die Mittelpunkte der inneren acht Kreise.

Die Diagonale, die den Kreis oben links mit dem unten rechts verbindet setzt sich zusammen aus den Höhen zweier gleichseitiger Dreiecke, deren Seitenlängen dem Kreisdurchmesser 2 entsprechen, plus 2 Radien.

--> d=2+2√3

Um die Seitenlänge des betrachteten Quadrats zu bekommen, muss die Diaginale durch √2 dividiert werden.

Schließlich kommen noch 6 Radien hinzu, um die Seitenlänge des äußeren Quadrats zu erhalten.

:-)

Comments

Wozu dient das denn: 9.8637033051562731469989727989155894705356193560336182016093723052?

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Erinnert mich an den Kollegen, der geographische Koordinaten für einen Anlasse auf 14 Stellen nach dem Komma (° Nord, ° Ost) angegeben hat, damit die Teilnehmer das in ihr Navi eingeben können. Man hat ihn dann aufgefordert zu überlegen, auf wieviel Protonendurchmesser er damit genau ist.

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Das ist Wolframalphas Ausgabe.

9,8637 hätte ausgereicht um zu erkennen, dass der geschätzte Wert von "etwas weniger als 10" stimmt.

:-)

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Mit Exaktheit hat das aber nichts zu tun. 6+√2+√6 ist bereits exakt.

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auf wieviel Protonendurchmesser er damit genau ist.

Das vorgestellte Problem ist aber nicht physikalischer, sondern mathematischer Natur. Und ε kann ja auch kleiner als ein Protonendurchmesser sein.
;-)

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Die Länge der längsten Diagonalen eines regulären 12-Ecks mit Seitenlänge 1, übrigens (plus 6).

Dass der Herr mit den 14 Nachkommastellen Quadratwurzeln ziehen kann, kann nicht völlig ausgeschlossen werden. Aber ob das Einparken seiner Frau am Treffpunkt dann mit Protonendurchmessergenauigkeit stattgefunden hat, da zweifle ich.

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Die Länge der längsten Diagonalen eines regulären 12-Ecks mit Seitenlänge 1, übrigens.

Da wäre ein geometrischer Beweis interessant.

:-)