Umkehrbarkeit Abbildungen / Matrixbeschreibung

Question

Aufgabe:

Sei \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) gegeben durch \( \left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{l}x-y \\ y-z\end{array}\right) . \) Ferner sei \( V \leqq \mathbb{R}^{2} \) mit \( V=\mathrm{L}\left(\left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right)\right) \).
Der \( \mathbb{R}^{3} \) sei mit der Standardbasis \( E \) versehen, der \( \mathbb{R}^{2} \) mit der Basis
\( B:\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{r} 1 \\ -1 \end{array}\right) . \)
(a) Bestimmen Sie die Matrixbeschreibung \( { }_{B} f_{E} \) von \( f \).
(b) Bestimmen Sie \( \operatorname{Kern}(f) \) und \( \operatorname{Bild}(f) \) und ihre Dimensionen. Ist \( f \) eine injektive oder surjektive Abbildung?
(c) Bestimmen Sie eine Basis von \( f^{-1}(V)=\left\{u \in \mathbb{R}^{3} \mid f(u) \in V\right\} \).
(d) Ist es möglich eine Matrixbeschreibung \( { }_{E}\left(f^{-1}\right)_{B} \) von \( f^{-1} \) anzugeben?

Problem/Ansatz:

Mein Problem liegt bei der Umkehrbarkeit Teilaufgabe c)d). Der Rest kann gerne auf Richtigkeit überprüft werden.

a) ich habe als BfE=BidE*EfE

mit fE=EfE

1	-1	0
0	1	-1

und BidE=

-1/2*

-1	-1
-1	1

mit EidB=

1	1
1	-1

,somit ist BfE=

1/2*

1	0	-1
1	-2	1

b)
vereinfach mit Hilfe eines homogenen LGS, ergab bei mir

1	0	-1	0
0	1	-1	0

meine Interpretation dazu:

-wenn, man die Einheitsmatrix weglässt, bleibt nur noch (-1,-1)^T Übrig.

der Kern lautet:L((\( \begin{pmatrix} 1\\1\end{pmatrix} \) . Die Dimension ist 1, weil nur ein Vektor.

-Dim Bild=DimV(R^2)-Dim kern → 2-1=1  Die Dimension des Bildes ist 1.

Daher ist das Bild ein lin. unabhängiger Vektor von BfE. D.h. alle würden infrage kommen.

ich habe den 2.gewählt → Bild=L((\( \begin{pmatrix} 0\\-1 \end{pmatrix} \)))

-nicht objektiv, weil Kern≠0 ,

nicht subjektiv, weil die Zielmenge nicht die komplette Abbildungsmenge enthält R^3-->R^2

daher nicht bijektiv

c) Wie soll ich eine Basis der Umkehrfunktion bilden, wenn die Umkehrabbildung nicht existiert. Sie müsste ja bijektiv sein, was sie nicht ist.

Aber mal vermutet: Wäre es dann \( \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} \), weil das sozusagen die Schnittmenge von beiden Räumen ist. Einmal gilt ja \( V \subseteq \mathbb{R}^{2} \) mit \( V=\mathrm{L}\left(\left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right)\right) \)

und dann  gehört es auch zu der Basis von B .

Aber das mit der F^-1 versteh ich nicht und mein Gedanke passt nicht mit der Bedingung das v€R^3

d)f^-1 : Wie gesagt; nicht bijektiv, deswegen nicht möglich

die Matrixbeschreibung E(f^-1)B (=(BfE)^-1 )ist nicht möglich, da es keine objektive lineare Abbildung ist und kein gleich dimensionaler Vektorraum ist.

Comments

ich glaube mir ist ein Fehler bei der a) unterlaufen.

Das mit den Identitätsmatrizen geht so nicht,oder?, weil beide Vektorräume nicht gleich dimensional sind, stimmt's? Wie könnte ich es sonst machen?

Answer 1

Du sollst keine Basis der Umkehrfunktion bilden.

Du sollst eine Basis der Menge \(\left\{u \in \mathbb{R}^{3} \mid f(u) \in V\right\} \) angeben.

Diese Menge ist das Urbild der Menge \(V\) unter der Abbildung \(f\). Das Urbild der Menge \(V\) unter der Abbildung \(f\) wird mit \(f^{-1}(V)\) bezeichnet. Und zwar völlig unabhängig davon, ob \(f\) eine Umkehrfunktion hat oder nicht.

Etwas verwirrend mag vielleicht sein, dass - falls eine Umkehrfunktion existiert - auch diese mit \(f^{-1}\) bezeichnet wird.

Comments

danke oswald für den Hinweis. So macht es für mich natürlich jetzt mehr Sinn.

Was versteh ich genau unter dem Urbild? Und wäre eine Basis hierfür z.B einfach die Einheitsbasis, die schon in der Aufgabe gegeben ist?

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Was versteh ich genau unter dem Urbild?

Das Urbild von \(V\) unter der Abbildung \(f\) ist \(\left\{u \in \mathbb{R}^{3} \mid f(u) \in V\right\} \).

Oder ohne mathematsiche Symbole ausgedrückt: Das Urbild von \(V\) unter der Abbildung \(f\) ist die Menge aller Vektoren aus \(\mathbb{R}^3\), die durch \(f\) auf ein Element von \(V\) abgebildet werden.

Und wäre eine Basis hierfür z.B einfach die Einheitsbasis

Was meinst du mit Einheitsbasis? Die Standardbasis? Keiner der Vektoren der Standardbasis ird auf ein Element aus \(V\) abgebildet.

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Muss der Vektor die Lienare Hülle bilden, damit die Bedingung erfüllt ist?

Also ich würde als u=(3, 2,1)^T wählen. Das würde dann mit der Abbildungsvorschrift 3-2=1 und 2-2=1 ergeben,

Also (1,1)^T.

Die Lineare Hülle bildet  ja alle Vektoren des Vektorraums ab und somit auch von der Funktion f, die aus diesem Vektorraum kommt.

Stimmt das; habe ich es so richtig verstanden?

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Muss der Vektor die Lienare Hülle bilden, damit die Bedingung erfüllt ist?

Ich weiß nicht welchen Vektor du meinst, welche lineare Hülle du meinst und welche Bedingung du meinst.

Also ich würde als u=(3, 2,1)^T wählen.

Dieser Vektor ist im Urbild von \(V\).

Es gibt weitere Vektoren im Urbild von \(V\), zum Beispiel \(\begin{pmatrix}\frac{1}{791}&\frac{22}{7}&\frac{4971}{791}\end{pmatrix}^T\).

Die Lineare Hülle bildet ja alle Vektoren des Vektorraums ab

Die lineare Hülle bildet überhgaupt nichts ab. Abbildungen bilden ab.

habe ich es so richtig verstanden?

Ich habe großé Schwierigkeiten, zu verstehen was du sagen willst.

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\( V \subseteq \mathbb{R}^{2} \) mit \( V=\mathrm{L}\left(\left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right)\right) \)

Das habe ich von der Aufgabenstellung.

Beinhaltet die Lineare Hülle nicht mindestens alle Vektoren, die einen Raum aufspannen können, also mindestens die Basis?. Das war nämlich mein Gedanke. Ich verstehe das so(weiß nicht, ob ich es überhaupt richtig verstehe), dass der Vektorraum V also die Basis (1,1)^T hat.

Und dann habe ich einen Vektor Gesucht der mit der Abbildungsvorschrift auf diesen Vektor kommt. Deswegen habe ich jetzt gedacht, dass die gesuchte Basis das ist {x\( \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} \)| x€R}

Es tut mir Leid, dass ich mich wohl nicht verständlich genug ausdrücke.Wenn ich auf dem kompletten falschen Weg bin, freue ich mich, wenn du mir den richtigen Weg zeigst und auch was ich falsch denke. Danke

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kurzer Einschub wieder zur a)

Stimmt das so, wie ich die Abbildung  mit den id gebildet habe?

z.B. bei BidE sind die Basen nicht in der gleichen Dimension, somit kann man sie doch nicht bilden oder?  E (standardbasis) ist in R^3 und B ist in R^2.

Ich habe gemerkt, dass ich beim Rechnen einfach immer die E angepasst habe, also auf eine E in R^2, aber dass ist ja willkürlich und wäre doch falsch.

Also ist die Matrixbeschreibung in a) so richtig; wenn nein, wie mach ich es richtig/alternativ zu den id ?

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Beinhaltet die Lineare Hülle nicht mindestens alle Vektoren, die einen Raum aufspannen können, also mindestens die Basis?

Ja, die lineare Hülle von \(\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\) beinhaltet die Basis der linearen Hülle von \(\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\). Grund dafür ist, dass die lineare Hülle ein Vektorraum ist und jeder Vektorraum eine Basis hat.

dass der Vektorraum V also die Basis (1,1)^T hat.

Ja.

Weil \(V\) die lineare Hülle von {(1,1)^T} ist, ist {(1,1)^T} ein Erzeugendensystem von V.

Weil dieses Erzeugendensystem linear unabhängig ist, ist es eine Basis von V.

Deswegen habe ich jetzt gedacht, dass die gesuchte Basis das ist {x\( \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} \)

Das kann deshalb nicht sein, weil der von mir angegebene Vektor ebenfalls im Urbild von V liegt (Hast du das nachgerechnet?) aber nicht als \( x\cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix}\) dargestellt werden kann.

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ich meinte wohl x*\( \begin{pmatrix} 3\\2\\1 \end{pmatrix} \)

Dann wäre das mit der Vorschrift \( \begin{pmatrix} 3-2=1\\2-1=1 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} \).

Das müsste dann passen, ja?