Aloha :)
$$f_a(x)=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2}x^k=\sum\limits_{k=1}^\infty a_k\cdot(x-0)^k\quad;\quad a_k\coloneqq\frac{1}{k^2}$$Der Entwicklungspunkt ist \(x_0=0\). Der Konvergenzradius \(r\) ist der Grenzwert von:$$\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|=\frac{(k+1)^2}{k^2}=\left(1+\frac{1}{k}\right)^2\to1\eqqcolon r$$Der Konvergenzradius ist also \(r=1\) und der Konvergenzbereich ist \(|x|<1\).
Streng genommen musst du noch die Ränder des Konvergenzbereichs explizit prüfen, also die Fälle \(x=\pm1\). Die Potenzreihe \(f_a(x)\) konvergiert nämlich auch für beide Ränder.
$$f_b(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty2^n(x-1)^n=\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\cdot(x-1)^n\quad;\quad a_n\coloneqq2^n$$Der Entwicklungspunkt ist \(x_0=1\). Der Konvergenzradius \(r\) ist der Grenzwert von:$$\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\frac{2^n}{2^{n+1}}=\frac{1}{2}\eqqcolon r$$Der Konvergenzradius ist also \(r=\frac{1}{2}\) und der Konvergenzbereich ist:$$|x-1|<r\implies|x-1|<\frac{1}{2}\implies-\frac{1}{2}<x-1<\frac{1}{2}\implies\frac{1}{2}<x<\frac{3}{2}$$Hier konvergiert die Potenzreihe nicht an den Rändern des Konvergenzbereichs.
