Geg.: Unterraum erzeugt von allen Potenzen von A. Zeigen Sie, dass dimK(U) ≤ n.

Question

Aufgabe:

Sei A ∈ M_n;n(K). Wir betrachten folgenden Unterraum von Mn;n(K)
U = ⟨A_i | i ∈ ℕ₀⟩ ⊆ M_n;n(K)
also den Unterraum erzeugt von allen Potenzen von A.

Zeigen Sie, dass dim_K(U) ≤ n.

Hinweis: Zeigen Sie, dass (En; A;A²; ... ;A^n-1) ein Erzeugendensystem von U ist. Man kann den Satz von Cayley-Hamilton verwenden, um höhere Potenzen von A als Linearkombination auszudrücken.

Problem/Ansatz:

Bei der Aufgabe hab ich das Problem, ob ich das alles erwische, weil da schon recht viele (und kleine) Schritte nötig sind. Kann mir Jemand vielleicht eine grobe Zsf. schreiben, welche Def. , Eigenschaften, etc. nötig wären?