Wo liegt der Fehler bei der partiellen Integration?

Question

Bestimme $$\int \frac {x}{(x-1)^2}dx$$

Sei $$f(x)=x,\, g’(x)= \frac {1}{(x-1)^2} $$

Mit partieller Integration folgt

$$\int \frac {x}{(x-1)^2}dx=-\frac{x}{x-1}-\int-\frac{1}{x-1}=ln(x-1)-\frac{x}{x-1}$$

Die richtige Lösung ist jedoch

$$ln(x-1)-\frac{1}{x-1}$$

Ich versuchte das Integral mit partieller Integration zu Lösen. Mein Ansatz führt zur falschen Lösung. Ich kann aber nicht sehen wo der Fehler liegt.

Answer 1

Da ist kein Fehler.

Stammfunktionen dürfen sich um einen konstanten Summanden unterscheiden.

        \(\begin{aligned}&\frac{x}{x-1}\\=\,&\frac{x-1+1}{x-1}\\=\,&\frac{x-1}{x-1}+\frac{1}{x-1}\\=\,&1+\frac{1}{x-1}\end{aligned}\)

Answer 2

Die Stammfunktion von 1/(x-1)^2 muss -1/(x-1) lauten.

Comments

Das stimmt aber mit der Formel der partiellen integration gilt

$$\int fg’dx = fg - \int f’gdx$$

Und mit meinen Definitionen folgt

$$fg= -\frac{x}{x-1}$$