Zeigen sie mittels vollständiger Induktion, dass die Formel

Question

Aufgabe:

Vollständige Induktion für f(x)= x^2*e^x

Zeigen sie mittels vollständiger Induktion, dass die Formel

f^(n)(x)= (x^2+2nx+n(n-1))e^x für n größer gleich 0 gilt .

Answer 1

Aloha :)

Für die Funktion$$f(x)=x^2\cdot e^x$$zeigen wir durch vollständige Induktion$$f^{(n)}(x)=\left(x^2+2nx+n(n-1)\right)e^x\quad;\quad n\ge0$$

Verankerung bei \(n=0\):$$f^{(0)}(x)=\left(x^2+2\cdot0\cdot x+0\cdot(0-1)\right)e^x=x^2\cdot e^x=f(x)\quad\checkmark$$

Induktionsschritt ausgehend von der Induktionsvoraussetzung:$$f^{(n+1)}(x)=\left(f^{(n)}(x)\right)'=\left(\;\underbrace{\left(x^2+2nx+n(n-1)\right)}_{=u}\cdot\underbrace{e^x}_{=v}\;\right)'$$$$\phantom{f^{(n+1)}(x)}=\underbrace{\left(2x+2n\right)}_{=u'}\cdot\underbrace{e^x}_{=v}+\underbrace{\left(x^2+2nx+n(n-1)\right)}_{=u}\cdot\underbrace{e^x}_{=v'}$$$$\phantom{f^{(n+1)}(x)}=\left(\;\left(2x+2n\right)+\left(x^2+2nx+n(n-1)\right)\;\right)\cdot e^x$$$$\phantom{f^{(n+1)}(x)}=\left(\;x^2+2nx+2x+n(n-1)+2n\;\right)\cdot e^x$$$$\phantom{f^{(n+1)}(x)}=\left(\;x^2+2x(n+1)+n(n-1+2)\;\right)\cdot e^x$$$$\phantom{f^{(n+1)}(x)}=\left(\;x^2+2(n+1)x+(n+1)n\;\right)\cdot e^x\quad\checkmark$$

Answer 2

Hallo

die Formel gilt für n=0 (oder auch für n=1)

für den Induktionsschritt musst du nur f(n+1)=f(n)' bilden, und zeigen, dass sie für n+1 gilt.

Gruß lul

Answer 3

Hallo :-)

Leite die Induktionsvoraussetzung im Induktionsschritt ab.