Berechnung des Integrales von e^(-x^2) unter zu Hilfenahme von f(x)*f'(x)/(f''(x)*s(x), mit f(x)=e^(-x^2)

Question

Aufgabe:

komme bei diesem Problem einfach nicht weiter....:

folgende Vorüberlegungen wurden genutzt, oberes Beispiel:

http://www.wichmann.dashosting.de/mathematische%20Basteleien/Integration.html

Problem/Ansatz:

f(x)=e^(-x^2), f(x)*f'(x)/f''(x)*s(x)=∫e^(-x^2)dx

f'(x)=-2x*e^(-x^2), f''(x)=(4x^2-2)*e^(-x^2)

f(x)*f'(x)/f''(x)=k(x)=-x*e^(-x^2)/(2x^2-1)

k(x)*s(x)=∫e^(-x^2)dx

Ableitung bilden:

k'(x)*s(x)+k(x)*s'(x)=e^(-x^2), daraus folgt:

(4x^4+1)/(2x^2-1)^2*e^(-x^2)*s(x)+(-x*e^(-x^2)/(2x^2-1))*s'(x)=e^(-x^2)

s(x)+s'(x)*(2x^2-1)*(-x)/(4x^4+1)=(2x^2-1)^2/(4x^4+1)

Integralansatz:

s(x)=(a*4x^4-b*4x^2+c)/(4x^4+1), s'(x)=(8x*(4bx^4+(2a-2c)*x^2-b))/(4x^4+1)^2, daraus folgt:

(a*4x^4-b*4x^2+c)*(4x^4+1)^2+(8x*(4bx^4+(2a-2c)*x^2-b))*(2x^2-1)*(-x)=(2x^2-1)^2*(4x^4+1)^2

usw. mein Integralansatz ist falsch, ja?

wollte dann auch, wie bei meinem obigen Beispiel, einen Koeffizientenvergleich machen....

Danke für die Hilfe....!

Comments

---

unteres Beispiel, habe ich doch schon mehrmals eingestellt.....

http://www.wichmann.dashosting.de/mathematische%20Basteleien/Sinusfunktion.html

Answer 1

Hallo Bert

du musst dich schon damit abfinden, dass es Integrale gibt, die man nur numerisch ermitteln kann. Vielen Leuten ist nicht klar, dass auch sehr bekannte Funktionen wie sin, e^x, ln(x) eigentlich nur numerisch bekannt sind, auch wenn man sie im TR einfach eintippen kann. dass man sin und e .Funktion nicht mit Polynomen exakt approximieren kann ( wohl aber immer auf eine vorgegebene Genauigkeit)  ist trivial, da ja schon e^1  und sin(1) eine transzendente Zahlen sind, die man nicht mit endlichen Potenzen von rationalen Zahlen bestimmen kann.

Im laufe der Zeit und mit Computern wird sind auch explizite Verfahren zur Integration, wie du sie suchst immer weniger spannend. Aber mit Sicherheit wirst du für die erf funktion keine Rationale funktion finden. Das Unterfangen grenzt an krisquadrieren, also eine Rationale Lösung für pi finden.

Es gibt spannende Sachen in Mathe, auch für Hobby, aber neue Wege zur Integration gehören nicht dazu.

Gruß lul

Comments

habe jetzt b=t*x^2 ersetzt, a=1,c=1, b=(16x^8+8x^4+1)/(16x^8+16x^6-4x^2+3)

erhalte nach der Ableitung 9 Faktoren in derselben Potenz, die meisten Faktoren ergeben auch 1 bei der Division, 3 oder vier Faktoren ergaben nicht 1, bei der Division, Rechenfehler, ich bin auf einem guten Weg, der Integrationsansatz war richtig

(s(x)*(-x/(2x^2-1)*e^(-x^2)))'=e^(-x^2)

---

Hallo

gehst du auch mal auf posts oder Argumente ein?

lul

---

das ist mein Ergebnis, sieht nach einem Rechenfehler aus, oder(?):

y=(-x*e^(-x^2))/(2x^2-1)*((-(16x^8+8x^4+1)/(16x^8+16x^6-4x^2+3))*4x^2+4x^4+1)/(4x^4+1)

$$y'={{\left(256\,x^{16}+512\,x^{14}+256\,x^{12}+128\,x^{10}- 160\,x^8-352\,x^6-16\,x^4-24\,x^2+9\right)\,e^ {- x^2 }}\over{256\,x ^{16}+512\,x^{14}+256\,x^{12}-128\,x^{10}-32\,x^8+96\,x^6+16\,x^4-24 \,x^2+9}} $$

---

sieht grausig aus! ob Fehler oder nicht ist dabei ziemlich egal.  um zu sehen was das mit deinem Problem zu tun hat platte einfach dein Ergebnis.

lul

---

Rechenfehler:...... 160x^8-32x^8=128x^8

                              352x^6-96x^6=256x^6, und bei 128x^10 und 16x^4 nur die

                              Vorzeichen  vertauscht.....

---

Es darf halt' nicht wahr sein......!!!!!!!!!!!!

Answer 2

Für diese Funktion f(x)=1/e^(x²) habe ich in meinen Unterlagen keine Lösungsformel.

Auch für f(x)=e^(x²) habe ich keine Lösungsformel.

Es gibt Integrale,die nicht lösbar sind.

Fläche von x0=1 und xu=-1     für f(x)=1/e^(x²)  ist A=1,4936..FE

Integrale,die nicht direkt durch eine Formel lösbar sind,berechnet man über eine Reihenentwicklung.

Comments

Hallo fjf

immer helfen deine Formelsammlungen nicht, auf jeden Fall dann nicht, wenn jemand glaubt er kann das besser als alle lebenden und toten Mathematiker. Bert hat sich da in was verrannt und argumentiert nicht mehr

Gruß lul

---

Wäre es nicht lohnenswert diesem, meinem Versuch einmal nachzugehen, als Ihn im Voraus schon zum Scheitern zu verurteilen, das würde nähmlich bedeuten, das alle Funktionen ein lösbares Integral haben und diese Funktionen bzw. das Integral durch ein Polynom dargestellt werden könnte. Ich habe für den Sinus auf meiner Website, wenn auch zweigeteilt und auch für das Integral von e^(-x^2) ein Polynom ermitteln können.....! Außerdem würde es die Integration von Funktionen erheblich vereinfachen, ob Ihr dies "mögen" würdet?

Was ich nicht verstehe ist, das Ihr mir nicht helft, auf eventuell Fehler hinweißt, sondern wie schon gesagt im Voraus alles "aburteilt", das ist unfair und "Schulmathematik" bzw. "Hochschulmathematik"!

Wisst Ihr, das ich für mein logisches Denken mal einen großen Preis, zu Unrecht, ich möchte dies nicht wieder alles hervorkramen, bezahlt habe? Auch aus diesem Grunde sollte man mit einer relativ unbekannten Person vorsichtig umgehen, das ist es sie, die Person, einfach Wert, oder pflegt Ihr da andere Umgangsformen?

, Bert Wichmann!

---

Hallo

ich hab dich mehrfach darauf hingewiesen, dass es für transzendente Funktionen keine Polynomlösungen geben kann, nur Näherungen, und viele Näherungen sind bekannt.

Auf solche Argumente gehst du nicht ein, bringst Graphiken, die zeigen, dass etwas eine gute Näherung ist.

Wenn du ein Taylorpolynom für sin oder cos oder e^{x^2} in das Integral Einsatz, bekommst du sehr schöne einfache Polynom, die das Integral gut annähern.

Zusatzfrage: Ist dir bewusst, dass es schon für sin , cos, e^x kein Polynom gibt um sie an einer allgemeinen Stelle zu bestimmen? dass sie an keiner rationalen Stelle rationale werte haben?

Ich dachte ich hätte mit viel Geduld deine post und auch deine web Seite gelesen, bekomme aber auf meine Argumente keine Antwort. Vielleicht war es nicht nett von mir, (und sicher überflüssig)  mit meinem Kommentar an fjf meinen Frust über deine Argumentationsunlust auszudrücken, dafür entschuldige ich mich.

Gruß  lul