Aloha :)
Da wir uns im ersten Quadranten befinden, gilt \(x,y\ge0\). Wir benötigen den Bereich \(B\), der im ersten Quadranten von den Funktionen \(y=\sqrt x\) und \(y=x^2\) eingeschlossen wird. Dazu bestimmen wir deren Schnittpunkte:$$x^2=\sqrt x\implies x^4=x\implies x^4-x=0\implies x(x^3-1)=0\implies x=0\;\lor\;x=1$$Damit ist \(x\in[0;1]\). In diesem Bereich ist \(\sqrt x\ge x^2\), sodass \(y\in[x^2;\sqrt x]\).
Der Bereich \(B\) wird also durch folgende Punktmenge beschrieben:$$B=\{(x;y)\in\mathbb R^2\,\big|\,x\in[0;1]\;\land\;y\in[x^2;\sqrt x]\}$$
~plot~ x^2 ; sqrt(x) ; [[0|1|0|1]] ~plot~
Das gesuchte Integral ist nun:$$I=\iint\limits_Bf(x;y)\,d(x;y)=\int\limits_{x=0}^1\;\int\limits_{y=x^2}^{\sqrt x}\sqrt x\,dy\,dx=\int\limits_{x=0}^1\left[\sqrt x\cdot y\right]_{y=x^2}^{\sqrt x}\,dx$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^1\left(x-x^{5/2}\right)dx=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{2}{7}\,x^{7/2}\right]_0^1=\frac{1}{2}-\frac{2}{7}=\frac{3}{14}$$
