Berechnen Sie in den folgenden Fällen für B \subseteq \mathbb{R}2 und f: B \rightarrow \mathbb{R} das Integral …

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie in den folgenden Fällen für $B \subseteq \mathbb{R}^{2}$ und $f: B \rightarrow \mathbb{R}$ das Integral $\int \limits_{B} f(x, y) d(x, y)$ :
$f(x, y)=\sqrt{x}$ und $B$ ist der beschränkte Bereich im ersten Quadranten zwischen den durch die Gleichungen $y^{2}=x$ und $y=x^{2}$ beschriebenen Parabeln.

Answer 1

hallo

hast du das Gebiet gezeichnet? dann siehst du dass y von x^2 bis $\sqrt{x}$ geht  und x von 0 bis 1

oder y von 0 bis 1 und x entsprechend von $\sqrt{y}$ bis y^2

lul

Answer 2

Aloha :)

Da wir uns im ersten Quadranten befinden, gilt $x,y\ge0$. Wir benötigen den Bereich $B$, der im ersten Quadranten von den Funktionen $y=\sqrt x$ und $y=x^2$ eingeschlossen wird. Dazu bestimmen wir deren Schnittpunkte:$$x^2=\sqrt x\implies x^4=x\implies x^4-x=0\implies x(x^3-1)=0\implies x=0\;\lor\;x=1$$Damit ist $x\in[0;1]$. In diesem Bereich ist $\sqrt x\ge x^2$, sodass $y\in[x^2;\sqrt x]$.

Der Bereich $B$ wird also durch folgende Punktmenge beschrieben:$$B=\{(x;y)\in\mathbb R^2\,\big|\,x\in[0;1]\;\land\;y\in[x^2;\sqrt x]\}$$

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f₁(x) = x²f₂(x) = √(x)Zoom: x(0…1) y(0…1)

Das gesuchte Integral ist nun:$$I=\iint\limits_Bf(x;y)\,d(x;y)=\int\limits_{x=0}^1\;\int\limits_{y=x^2}^{\sqrt x}\sqrt x\,dy\,dx=\int\limits_{x=0}^1\left[\sqrt x\cdot y\right]_{y=x^2}^{\sqrt x}\,dx$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^1\left(x-x^{5/2}\right)dx=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{2}{7}\,x^{7/2}\right]_0^1=\frac{1}{2}-\frac{2}{7}=\frac{3}{14}$$