Für welchen Wert von lambda hat das folgende lineare Gleichungssystem nichttriviale Lösungen

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

7) Für welchen Wert von \( \lambda \) hat das folgende lineare Gleichungssystem nichttriviale Lösungen (heißt: von null verschiedene Lösungen für \( x, y, z) \), und wie lauten diese Lösungen?
$$ \begin{array}{r} x-y-z=0 \\ 3 x+\lambda y+z=0 \\ -x+3 y+2 z=0 \end{array} $$
Lösung:
Nullsetzen der Determinante,
$$ \left|\begin{array}{ccc} 1 & -1 & -1 \\ 3 & \lambda & 1 \\ -1 & 3 & 2 \end{array}\right|=\lambda-5=0 $$
liefert \( \quad \underline{\lambda}=5 \)
Für diesen Wert von \( \lambda \) hat das Gleichungssystem die Lösungen \( \left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)=t \cdot\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 2\end{array}\right) \quad \) mit beliebigem reellem \( t \)

Problem/Ansatz:

Hallo ich bereite mich gerade auf meine Klausur für Lineare Algebra vor. Dies ist eine Aufgabe aus einer Altklausur. Ich verstehe absolut nicht wie das Endergebnis zu stande kommt.

Den Oberen Teil verstehe ich noch, dass Lamba = 5 sich aus der Determinante ergibt. Aber wie komme ich dann auf die Lösungen für x, y,z

Über eine ausführliche Erklärung mit Rechenweg würde ich mich sehr freuen. Bitte lieber zu viel als zu wenig.

Vielen Dank bereits im voraus für die Mühe.

VG

Kevin Max

Answer 1

Aloha :)

Für \(\lambda=5\) lautet das Gleichungssystem:

$$\begin{array}{rrr|r|l} x & y & z & = &\text{Aktion}\\\hline1 & -1 & -1 & 0 &\\3 & 5 & 1 & 0 &-3\cdot\text{Zeile }1\\-1 & 3 & 2 & 0 &+\text{Zeile 1}\\\hline1 & -1 & -1 & 0\\0 & 8 & 4 & 0 &-4\cdot\text{Zeile }3\\0 & 2 & 1 & 0 &:\,2\\\hline1 & -1 & -1 & 0 &+\text{Zeile }3\\0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0,5 & 0\\\hline1 & 0 & -0,5 & 0 &\Rightarrow x-0,5z=0\\0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0,5 & 0 &\Rightarrow y+0,5z=0\\\hline\hline\end{array}$$Die zwei gefundenen Bedingungen können wir nach \(z\) umstellen:$$x=0,5z\quad;\quad y=-0,5z$$Daher lauten alle Lösungen des Gleichungssystems:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,5z\\-0,5z\\z\end{pmatrix}=z\begin{pmatrix}0,5\\-0,5\\1\end{pmatrix}=\frac{z}{2}\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}\quad;\quad t\coloneqq\frac{z}{2}\in\mathbb R$$Da \(z\in\mathbb R\) beliebig gewählt werden kann, können wir \(t\coloneqq\frac{z}{2}\) setzen, das ebenfalls beliebig aus \(\mathbb R\) gewählt wreden kann.

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Vielen Dank für deine ausführliche Erklärung :). Das hat mir echt geholfen

Answer 2

Kannst du folgendes Gleichungssystem lösen?

x - y - z = 0
3·x + 5·y + z = 0
-x + 3·y + 2·z = 0

II + I ; III + 2*I

4·x + 4·y = 0
x + y = 0 --> y = -x

x - (-x) - z = 0 --> z = 2·x

Lösung: X = [x, -x, 2·x] = x·[1, -1, 2] = r·[1, -1, 2]

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Vielen Dank für die Unterstützung :)