An Objekten die Funktionsgleichungen lösen?

Question

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\( \underline{\text { Aufgabe } 2} \)
a) Das Volumen \( \mathrm{V} \) einer zylinderförmigen, beidseitig geschlossenen Dose ist \( \mathrm{V}=500 \mathrm{VE} \). Zeigen Sie, dass die Oberfläche der Dose in Abhängigkeit von \( \mathrm{r} \) bei einem fest vorgegebenen Volumen \( \mathrm{V} \) durch die Funktion \( O(r)=2 r^{2} \pi+\frac{1000}{r} \) beschrieben wird.
Wie ist der Radius \( \mathrm{r} \) und die Höhe \( \mathrm{h} \) der Dose zu wählen, damit der Materialverbrauch möglichst gering ist.
b) Eine Glasscheibe hat die Form eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Kathetenlängen von \( 80 \mathrm{~cm} \) und \( 100 \mathrm{~cm} \). Aus dieser Glasscheibe soll eine rechteckige Scheibe für einen Bilderrahmen geschnitten werden. Welche Abmessungen hat das Rechteck, wenn die Fläche möglichst groß sein soll.

Aufgabe:

Answer 1

V = pi·r^2·h --> h = V / (pi·r^2)

O = 2·pi·r^2 + 2·pi·r·h
O = 2·pi·r^2 + 2·pi·r·(V / (pi·r^2))
O = 2·pi·r^2 + 2·V / r

Bei dir sind 2·V = 1000 und damit

O = 2·pi·r^2 + 1000 / r

Comments

und bei b ist genau das selbe Prinzip?

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Ja das Prinzip ist immer das gleiche. Du musst eine Funktion für das aufstellen, was maximal werden soll, diese ableiten und Null setzen und damit die Unbekannte bestimmen.

b)

f(x) = 80 - 80/100*x

A(x) = x * f(x) = 80*x - 80/100*x^2

A'(x) = 80 - 160/100*x = 0 → x = 50 cm

f(x) = 80 - 80/100*50 = 40 cm

Damit ist das Rechteck 40 cm x 50 cm groß.