Warum ist der Grenzwert gleich 1?

Question

Aufgabe:

Warum ist der Grenzwert von \( \sqrt[k]{1/(1+k^2)} \) = 1.

Problem/Ansatz:

Hallo, der Grenzwert von \( \sqrt[k]{1/(1+k^2)} \) soll 1 eins sein, aber ich weiss nicht wie ich darauf kommen soll, denn das wäre ja das gleiche wie:

\( \sqrt[k]{1/(1+k^2)} \) = 1/(1+ \(\sqrt[k] {k^2} \) ) = 1/(1+1) = 1/2 ?

Comments

Man sollte noch mitteilen, welcher Grenzwert gefragt ist... Hier ist er zwar für die üblichen drei Fälle identisch.

\( \lim \limits_{k \rightarrow 0} \sqrt[k]{\frac{1}{1+k^{2}}}=1 \)

\( \lim \limits_{k \rightarrow-\infty} \sqrt[k]{\frac{1}{1+k^{2}}}=1 \)

\( \lim \limits_{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{\frac{1}{1+k^{2}}}=1 \)

Answer 1

Aloha :)

Wir überlegen uns zunächst den Grenzwert von \(\sqrt[k]{k}\) mit Hilfe der Bernoulli-Ungleichung:$$\left(1+\frac{1}{\sqrt k}\right)^k\ge1+\frac{k}{\sqrt k}=1+\sqrt k>\sqrt k=k^{1/2}\quad\implies$$$$\sqrt[k]{k}=k^{\frac{1}{k}}=\left(k^{1/2}\right)^{\frac{2}{k}}<\left(\left(1+\frac{1}{\sqrt k}\right)^k\right)^{\frac{2}{k}}=\left(1+\frac{1}{\sqrt k}\right)^2\stackrel{(k\to\infty)}\to1^2=1$$

Für \(k\ge2\) gilt \(1<1+k^2<k^3\), sodass für die Kehrwerte gilt:$$1>\frac{1}{1+k^2}>\frac{1}{k^3}\implies1>\sqrt[k]{\frac{1}{1+k^2}}>\sqrt[k]{\frac{1}{k^3}}=\left(\frac{1}{\sqrt[k]{k}}\right)^3\stackrel{(k\to\infty)}{\to}\left(\frac11\right)^3=1$$

Comments

Vielen Dank für deine Ausführlichkeit! :)

Answer 2

Ist √(9 + 9) das gleiche wie √9 + √9 ???