Aufgabe:
Warum ist der Grenzwert von 1/(1+k2)k \sqrt[k]{1/(1+k^2)} k1/(1+k2) = 1.
Problem/Ansatz:
Hallo, der Grenzwert von 1/(1+k2)k \sqrt[k]{1/(1+k^2)} k1/(1+k2) soll 1 eins sein, aber ich weiss nicht wie ich darauf kommen soll, denn das wäre ja das gleiche wie:
1/(1+k2)k \sqrt[k]{1/(1+k^2)} k1/(1+k2) = 1/(1+ k2k\sqrt[k] {k^2} kk2 ) = 1/(1+1) = 1/2 ?
Man sollte noch mitteilen, welcher Grenzwert gefragt ist... Hier ist er zwar für die üblichen drei Fälle identisch.
limk→011+k2k=1 \lim \limits_{k \rightarrow 0} \sqrt[k]{\frac{1}{1+k^{2}}}=1 k→0limk1+k21=1
limk→−∞11+k2k=1 \lim \limits_{k \rightarrow-\infty} \sqrt[k]{\frac{1}{1+k^{2}}}=1 k→−∞limk1+k21=1
limk→∞11+k2k=1 \lim \limits_{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{\frac{1}{1+k^{2}}}=1 k→∞limk1+k21=1
Aloha :)
Wir überlegen uns zunächst den Grenzwert von kk\sqrt[k]{k}kk mit Hilfe der Bernoulli-Ungleichung:(1+1k)k≥1+kk=1+k>k=k1/2 ⟹ \left(1+\frac{1}{\sqrt k}\right)^k\ge1+\frac{k}{\sqrt k}=1+\sqrt k>\sqrt k=k^{1/2}\quad\implies(1+k1)k≥1+kk=1+k>k=k1/2⟹kk=k1k=(k1/2)2k<((1+1k)k)2k=(1+1k)2→(k→∞)12=1\sqrt[k]{k}=k^{\frac{1}{k}}=\left(k^{1/2}\right)^{\frac{2}{k}}<\left(\left(1+\frac{1}{\sqrt k}\right)^k\right)^{\frac{2}{k}}=\left(1+\frac{1}{\sqrt k}\right)^2\stackrel{(k\to\infty)}\to1^2=1kk=kk1=(k1/2)k2<((1+k1)k)k2=(1+k1)2→(k→∞)12=1
Für k≥2k\ge2k≥2 gilt 1<1+k2<k31<1+k^2<k^31<1+k2<k3, sodass für die Kehrwerte gilt:1>11+k2>1k3 ⟹ 1>11+k2k>1k3k=(1kk)3→(k→∞)(11)3=11>\frac{1}{1+k^2}>\frac{1}{k^3}\implies1>\sqrt[k]{\frac{1}{1+k^2}}>\sqrt[k]{\frac{1}{k^3}}=\left(\frac{1}{\sqrt[k]{k}}\right)^3\stackrel{(k\to\infty)}{\to}\left(\frac11\right)^3=11>1+k21>k31⟹1>k1+k21>kk31=(kk1)3→(k→∞)(11)3=1
Vielen Dank für deine Ausführlichkeit! :)
Ist √(9 + 9) das gleiche wie √9 + √9 ???
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