0 Daumen
561 Aufrufe

Aufgabe:

Warum ist der Grenzwert von 1/(1+k2)k \sqrt[k]{1/(1+k^2)} = 1.


Problem/Ansatz:

Hallo, der Grenzwert von 1/(1+k2)k \sqrt[k]{1/(1+k^2)} soll 1 eins sein, aber ich weiss nicht wie ich darauf kommen soll, denn das wäre ja das gleiche wie:


1/(1+k2)k \sqrt[k]{1/(1+k^2)} = 1/(1+ k2k\sqrt[k] {k^2} ) = 1/(1+1) = 1/2 ?

Avatar von

Man sollte noch mitteilen, welcher Grenzwert gefragt ist... Hier ist er zwar für die üblichen drei Fälle identisch.

limk011+k2k=1 \lim \limits_{k \rightarrow 0} \sqrt[k]{\frac{1}{1+k^{2}}}=1

limk11+k2k=1 \lim \limits_{k \rightarrow-\infty} \sqrt[k]{\frac{1}{1+k^{2}}}=1

limk11+k2k=1 \lim \limits_{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{\frac{1}{1+k^{2}}}=1

2 Antworten

+1 Daumen
 
Beste Antwort

Aloha :)

Wir überlegen uns zunächst den Grenzwert von kk\sqrt[k]{k} mit Hilfe der Bernoulli-Ungleichung:(1+1k)k1+kk=1+k>k=k1/2    \left(1+\frac{1}{\sqrt k}\right)^k\ge1+\frac{k}{\sqrt k}=1+\sqrt k>\sqrt k=k^{1/2}\quad\implieskk=k1k=(k1/2)2k<((1+1k)k)2k=(1+1k)2(k)12=1\sqrt[k]{k}=k^{\frac{1}{k}}=\left(k^{1/2}\right)^{\frac{2}{k}}<\left(\left(1+\frac{1}{\sqrt k}\right)^k\right)^{\frac{2}{k}}=\left(1+\frac{1}{\sqrt k}\right)^2\stackrel{(k\to\infty)}\to1^2=1

Für k2k\ge2 gilt 1<1+k2<k31<1+k^2<k^3, sodass für die Kehrwerte gilt:1>11+k2>1k3    1>11+k2k>1k3k=(1kk)3(k)(11)3=11>\frac{1}{1+k^2}>\frac{1}{k^3}\implies1>\sqrt[k]{\frac{1}{1+k^2}}>\sqrt[k]{\frac{1}{k^3}}=\left(\frac{1}{\sqrt[k]{k}}\right)^3\stackrel{(k\to\infty)}{\to}\left(\frac11\right)^3=1

Avatar von 152 k 🚀

Vielen Dank für deine Ausführlichkeit! :)

0 Daumen

Ist √(9 + 9) das gleiche wie √9 + √9 ???

Avatar von 491 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage