Warum ist der Grenzwert von lim(x- 1) x^(1/(1-x)) = 1/e?

Question

Aufgabe:

Warum ist der Grenzwert von lim(x->1) x^(1/(1-x)) = 1/e ?

Problem/Ansatz:

Answer 1

\(x^{\frac{1}{1-x}}=\mathrm{e}^{\ln\left(x^{\frac{1}{1-x}}\right)}=\mathrm{e}^{\frac{1}{1-x}\ln x}=\mathrm{e}^{\frac{\ln x}{1-x}}\)

Nach der Regel von de L’Hospital gilt

        \(\lim\limits_{x\to 1}\frac{\ln x}{1-x}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{1/x}{-1}\)