Aufgabe:
Zeige, dass es genau ein x ≥ 0 gibt mit \( e^{x} \) + \( \sqrt{x} \) = 3.
Problem/Ansatz:
Ich betrachte die Funktion f: [0, ∞) → ℝ mit f(x) = \( e^{x} \) + \( \sqrt{x} \) - 3 und zeige, dass diese genau eine Nullstelle hat.
1.) f ist stetig als Komposition stetiger Funktionen.
2.) f ist streng monoton wachsend, da f'(x) = \( e^{x} \) + \( \frac{1}{2√x} \) > 0
3.) f(0) = -3 und \( \lim\limits_{x\to\infty} \) f(x) = +∞
D.h. wenn ich ein kompaktes Intervall [0, b] wähle, wobei b < ∞ und b > 0 mit f(b) > 0, dann folgt aufgrund der strengen Monotonie f(0) < f(b) und es gilt f(0) = -3 < 0 und f(b) > 0. Nach dem Zwischenwertsatz muss dann auch ein x ∈ (0, b) existieren, sodass f(x) = 0.
Da wegen 2.) f auch noch streng monoton wachsend ist, ist f: [0, b] → ℝ bijektiv. Somit kann es nur exakt ein x ∈ [0, b] geben, sodass f(x) = 0.
Ist der Ansatz zur Lösung der Aufgabe richtig oder liege ich komplett daneben mit meiner Vorgehensweise?
Würde mich über Hilfe freuen!
