Zeige, dass es genau ein x ≥ 0 gibt mit e^(x)+ sqrt(x) =3

Question

Aufgabe:

Zeige, dass es genau ein x ≥ 0 gibt mit e^(x)+ sqrt(x) =3

Problem/Ansatz:

Ich denke man muss hier den Zwischenwertsatz anwenden aber komme trotzdem nicht darauf was mir der helfen könte

Answer 1

\(e^x\) und \(\sqrt{x}\) sind auf dem Intervall \([0,\infty[\) streng monoton wachsend und erst recht ist es auch die Funktion \( f:\ [0,\infty[ \rightarrow \mathbb{R}, \ x\mapsto e^x+\sqrt{x} \). Damit ist \( f \) injektiv.

Comments

Injektivität besagt, dass es höchstens ein \(x\) gibt. Es bleibt noch zu zeigen, dass es mindestens ein \(x\) gibt.

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Das lässt sich ja leicht über den ZWS zeigen.