Also kann man irgendetwas am Text rauslesen?
Selbstverständlich, das ist ja der Sinn von solchen Aufgaben. Der Text enthält alle Informationen, die man zur Lösung benötigt.
Vorüberlegung: Wie sieht so ein Wassestrahl ("Springbrunnen") aus?
Die einzelnen Tropfen eines solchen Wasserstrahl folgen den Gesetzen des schrägen Wurfes nach oben, seine Bahn ist daher eine Parabel, und zwar eine nach unten geöffnete.
Zur Darstellung der Parablel sollte man das Koordinatenkreuz so legen, dass seine x-Achse auf der Wasseroberfläche verläuft und sein Ursprung genau mittig zwischen dem Austrittspunkt des Strahles und seinem Wiederauftreffpunkt auf der Wasseroberfläche liegt. Dann nämlich kann man Symmetrieeigenschaften ausnutzen.
Nun zu den einzelnen Informationen:
Der Wasserstrahl aus einem Springbrunnen erreicht eine maximale Höhe von 3m
=> Der Scheitelpunkt der Parabel hat also die Koordinaten S ( xs | ys ) = ( 0 , 3 ).
und trifft 2m von der ebenerdigen Austrittsöffnung wieder auf der Wasseroberfläche auf.
=> Der Abstand der Nullstellen der Parabel beträgt also 2 m. Wegen der Symmetrie muss sich der Austrittspunkt des Strahles im Punkt ( - 1 | 0 ) und der Wiederauftreffpunkt im Punkt ( 1 | 0 befinden).
Mit diesen Informationen kann man die Gleichung der Parabel aufstellen, die den Verlauf des Wasserstrahls beschreibt. Da man den Scheitelpunkt kennt, nutzt man dazu am besten die Scheitelpunktform:
f ( x ) = a ( x - xs ) 2 + ys
und setzt dort die Koordanten des Scheitelpunktes ein:
f ( x ) = a ( x - 0 ) 2 + 3
= a x 2 + 3
Zur Bestimmung des Parameters a setzt man nun in diese Gleichung auch noch die Koordinaten eines der beiden weiteren bekannten Punkte ein , ich nehme den Punkt ( 1 | 0 ) :
0 = a * 1 2 + 3
und löst nach a auf:
a = - 3 / 1 2 = - 3
Somit lautet die Gleichung der Strahlparabel:
f ( x ) = - 3 x 2 + 3
In welcher Höhe muss man ein Becherglas, das sich horizontal gemessen 1,5m von der Austrittsöffnung entfernt befindet, halten, um in ihm Wasser aufzufangen?
Nun, zur Beantwortung dieser Frage muss man zunächst die Stelle x0 bestimmen, an der man das Becherglas halten muss und dann die Höhe, die der Wasserstrahl an dieser Stelle hat.
Die Stelle x0 soll von der Austrittsöffnung 1,5 m entfernt sein. Wir erinnern uns: Die Austrittsöffnung hat die x-Koordinate x = - 1. Daraus ergibt sich, dass das Becherglas an der Stelle x0 = -1 + 1,5 = 0,5 gehalten werden muss.
An dieser Stelle hat der Strahl seinen Scheitelpunkt ( 0 | 3 ) bereits überschritten, das Wasser befindet sich also im freien Fall nach unten und hat an der Stelle x0 = 0,5 eine Höhe von
f ( 0,5 ) = - 3 * 0,5 2 + 3 = 2,25 m
erreicht. In diese Höhe muss man das Becherglas halten.
