DGL-System lösen mit komplexen Eigenwerte

Question

Aufgabe:

Bestimme die Lösung des DGL-Systems

y´=\( \begin{pmatrix} y´_1 \\ y´_2  \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -4 & 0 \end{pmatrix} \)*y

Problem/Ansatz:

Eigenwerte und Eigenvektoren von: \( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -4 & 0 \end{pmatrix} \):Als Eigenwerte bekomme ich: a=2i, b=-2i die zugehörigen Eigenvektoren:

für a:

v_1 = \( \begin{pmatrix} -i/2 \\ 1  \end{pmatrix} \)

für b :

v_2= \( \begin{pmatrix} i/2 \\ 1  \end{pmatrix} \)

Jetzt das Fundamentalsystem: (v_1*e^(a*x),v_2*e^(b*x))

nun habe ich das problem, dass eben ein reeller und imaginärer Teil im Fundamentalsystem auftaucht, nehme ich dann einfach nur den reellen Teil? Würde mich über jegliche Hilfe freuen!

Answer 1

Hallo,

Es wird zwischen komplexem und reellem Fundamentalsystem unterschieden.

kompl. FS: ( e^(-2i) \( \begin{pmatrix} i/2\\1\\ \end{pmatrix} \) ;e^(2i) \( \begin{pmatrix} -i/2\\1\\ \end{pmatrix} \))

Mittels der Euler - Identität e^(ix)=cos(x) +i sin(x) kannst Du das Ganze ins reelle transformieren

Hier ist das ausführlich beschrieben: (in einem ähnlichen Beispiel)

Comments

also in grunde genommen alles umrechnen und dann sozusagen den imaginärteil rausziehen (also alles, was ein i hat, wird rausgenommen) sodass nur reeller Teil übrig bleibt?

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siehe Video 12: 17 , dort siehst Du es genau

Answer 2

hallo

du kannst den komplexen Wert nehmen, aber auch da die Linearkombination von 2 Lösungen wieder eine Fundamentallösung ist cos(2x) und sin(2x) als reelle Lösungen nehmen, denn e^ix=cos(x)+i*sin(x)

Gruß lul