Komplexe Rechenregeln Algebra

Question

Aufgabe:

Für eine komplexe Zahl z∈C wird mit Re(z) ihr Realteil und mit Im(z) ihr Imaginärteil bezeichnet.

Welche der folgenden Aussagen über komplexe Zahlen sind wahr?

z^- := konjugierte Form

1. Für jede komplexe Zahl z ≠ 0 gilt: 1 / z = z^- / |z|.
2. Für z∈C gilt: z∈R ⟺ z^- = z.
3. Für jede komplexe Zahl z gilt: Im(z) = z − z^-.
4. Für x,y,z∈C gilt: (x ⋅ y^- + z)^- = x^- ⋅ y + z^-.

Problem/Ansatz:

1. Falsch, nur bei |z|^2

2. Richtig, da Im wegfällt

3. Falsch, Gegenbeispiel (3 + i) - (3 - i) = 2i, aber Im(z) = 1

4. Richtig, da (z + w)^- = a + c − (b + d)i = a − bi + c − di = z^- + w^-,
                    (zw)^- = ac − bd − (ad + bc)i = (a − bi)(c − di) = z^- · w^-.

Comments

Hallo,

sieht alles richtig aus.

(bei a) meinst Du: Richtig wäre $$\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{|z|^2}$$?)

---

ja, genau das meine ich

Answer 1

1. Falsch.

2. Richtig, da Im(z) wegfällt

3. Falsch, Gegenbeispiel (3 + i) - (3 - i) = 2i, aber Im(z) = 1

4. Richtig, da \( \overline{x·\overline{y}+z} \)=\( \overline{x} \) ·y+\( \overline{z} \)