Konvergenz von uneigentlichem Integral mit Parameter im Exponenten

Question

Aufgabe:

Man soll angeben, für welche \( \alpha \) das uneigentliche Integral konvergiert. Das unbestimmte Integral lautet \( \int \limits_{0+0}^{+ \infin} x^{\alpha/4}(1+x^4)^{\alpha-4} dx \)

Problem/Ansatz:

Leider habe ich keine Ahnung, wie ich an diese Aufgabe herangehen soll. Tipps und Anregungen erwünscht. Gerne auch vollständige Erklärungen zur Berechnung. Die Lösung soll laut der Aufgabe so aussehen, dass Alpha zwischen zwei rationalen Zahlen liegen soll.

Vielen Dank im voraus!

Answer 1

Hallo,

problematisch ist, dass das Integral auf einem unbeschränkten Intervall definiert ist, und - wenn a<0 ist -, dass die untere Grenze 0 ist. Schauen wir auf das 1. Problem. Eine direkte Berechnung scheint aussichtslos. Also verwenden wir das Minoranten- / Majoranten-Kriterium. Offenbar ist:

$$x^{0.25a}(1+x^4)^{a-4}=x^{0.25a+4a-16}(1+x^{-4})^{a-4}$$

Der 2. Faktor geht gegen1 für \(x \to \infty\) lässt sich also für hinreichend große x durch positive Konstanten abschätzen. Es kommt also nur noch darauf an, ob für ein hinreichend großes c das Integral

$$\int_c^{\infty} x^{0.25a+4a-16} \; dx$$

existiert. Dies ist genau dann der Fall, wenn \(0.25a+4a-16<-1\) ist.

Die untere Grenze für a findet man analog, indem man die Konvergenz an der unteren Grenze untersucht.

Gruß Mathhilf