Aufgabe:
Zeigen Sie, dass B = (xi )i ∈ ℕ eine Basis von ℝ[x] ist.
Problem/Ansatz:
Betrachten wir Elemente aus ℝ[x], zum Beispiel die 3, wird uns klar das wir die 1 als Basisvektor ansehen können, da wir durch Multiplikation mit Zahlen aus ℝ alle konstanten Polynome darstellen können. Betrachten wir jetzt aber zum Beispiel 5 + 2x, fällt uns auf das wir x mit keiner Zahl aus ℝ darstellen können, also müssen wir auch x in unsere Basis aufnehmen. Betrachten wir nun zum Beispiel 7+21x + 3 x2 fällt uns auf, dass wir auch x2 in die Basis aufnehmen müssen. So geht das für jede x-Potenz weiter. Also haben wir xi mit i ∈ ℕ.
Reicht das bereits und habt ihr vielleicht einen besseren Beweis?
