Ich habe noch einen anderen Beweis dafür, dass f streng monoton steigend auf R ist:
Sei
$$x > y, ~~ x,y \in \mathbb{R}$$.
Jetzt ist zu zeigen, dass f(x) > f(y):
$$x > y$$
$$\Leftrightarrow e^x > e^y \Leftrightarrow \frac{1}{e^y} > \frac{1}{e^x}$$
$$\Rightarrow e^x - \frac{1}{e^x} > e^y - \frac{1}{e^y}$$
$$\Leftrightarrow \frac{1}{2} ( e^x - e^{-x} ) > \frac{1}{2} ( e^y - e^{-y} )$$
$$\Rightarrow f(x) > f(y)$$