Zeigen sie, dass f streng monoton ist. f(x) = 1/2·(e^x - e^{-x})

Question

Sei f:ℝ->ℝ gegeben durch $$ f\left( x \right) =\frac { 1 }{ 2 } \left( { e }^{ x }-{ e }^{ -x } \right). $$

i) Zeigen sie, dass f streng monoton auf ℝ ist und surjektiv.

ii) Bestimmen sie die Umkehrfunktion f^-1(x), ist diese stetig auf ℝ?

Comments

Meine Idee: Für die strenge Monotonie am besten Induktion anwenden mit $$ \frac{f(x)}{f(x+1)} < 1, $$ was sagt ihr dazu?

---

Willst du das nur für ganzzahlige Werte von x zeigen oder für alle Werte in R ?

Die vollständige Induktion nimmt man ja meist wenn etwas innerhalb einer Menge der ganzen Zahlen zu zeigen ist.

---

Ok stimmt, da habe ich nicht drüber nachgedacht, es wird sicher schwierig, mit Induktion ganz R zu beweisen. Aber wie gehe ich dann vor?

---

Siehe die beiden unteren Antworten.

Die Antwort von Thilo87 ist dabei besonders geschickt, weil man dort auch ohne Ableitung auskommt. Dürft ihr also die Ableitung benutzten dann kannst du so vorgehen wie ich es gezeigt habe. Dürft ihr die Ableitung nicht benutzen nimmst du den weg von Thilo87.

---

Zur Surjektivität: Wenn ich gezeigt habe, dass f streng monoton ist, und dann zeige, dass für x-> -∞ f(x) -> -∞ und für x->∞ f(x) -> ∞ gilt, ist die Surjektivität dank der Stetigkeit von f(x) bereits bewiesen oder?

---

Ich sitze gerade ebenfalls an der Aufgabe, den ersten Teil hab ich soweit verstanden, allerdings klappt der zweite nicht so. Wie bestimme ich die Umkehrfunktion und wie beweise ich deren stetigkeit?

---

Ich habe weiter unten mal die Herleitung für die Umkehrfunktion gemacht. Nun solltest du noch zeigen das sie stetig ist.

Answer 1

Ich habe noch einen anderen Beweis dafür, dass f streng monoton steigend auf R ist:

Sei

$$x > y, ~~ x,y \in \mathbb{R}$$.

Jetzt ist zu zeigen, dass f(x) > f(y):

$$x > y$$

$$\Leftrightarrow e^x > e^y \Leftrightarrow \frac{1}{e^y} > \frac{1}{e^x}$$

$$\Rightarrow e^x - \frac{1}{e^x} > e^y - \frac{1}{e^y}$$

$$\Leftrightarrow \frac{1}{2} ( e^x - e^{-x} ) > \frac{1}{2} ( e^y - e^{-y} )$$

$$\Rightarrow f(x) > f(y)$$

Comments

Haben leider Ableitungen nicht besprochen, deshalb finde ich die zweite Lösung besser, hätte man auch selber drauf kommen können, danke!

Answer 2

f(x) = 1/2·(e^x - e^{-x})
f'(x) = 1/2·(e^x + e^{-x})

Die e-Funktion ist immer positiv. Die Summe zweier positiver Werte ist ebenfalls positiv. Daher ist f'(x) für alle x positiv und somit ist f(x) streng monoton steigend.

Schaffst du den Rest dann selber ?

Comments

Es handelt sich hier um den Sinushyperbolicus.

https://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_Hyperbolicus_und_Kosinus_Hyperbolicus

Nur für den Fall das du etwas durch Literaturrecherche glänzen willst.

---

1/2·(e^x - e^{-x}) = y

e^x - e^{-x} = 2·y

e^{2·x} - 1 = 2·y·e^x

e^{2·x} - 2·y·e^x - 1 = 0

z^2 - 2·y·z - 1 = 0

z = y + √(y^2 + 1)

e^x = y + √(y^2 + 1)

x = ln(y + √(y^2 + 1))

y = ln(x + √(x^2 + 1))

Skizze: