Aufgabe:
Hallo. Ich habe hier folgende DGL 2. Ordnung.
Text erkannt:
Ermitteln Sie die allgemeine Lösung der DGL \( \mathrm{y}^{\prime \prime}+\mathrm{y}^{\prime}-2 \mathrm{y}=3 * \sin (2 \mathrm{x}) \).
Hinweis: Eine Probe ist nicht notwendig.
Lösung:
Charakteristische Gleichung: \( \lambda^{2}+\lambda-2=0 \rightarrow \lambda_{1}=1 ; \quad \lambda_{2}=-2 \)
Lösung der homogenen DGL: \( \mathrm{y}_{\mathrm{h}}(\mathrm{x})=\mathrm{C}_{1} \mathrm{e}^{\mathrm{x}}+\mathrm{C}_{2} \mathrm{e}^{-2 \mathrm{x}} \)
Partikulärer Ansatz: \( \mathrm{y}_{\mathrm{p}}(\mathrm{x})=\mathrm{A} * \sin (2 \mathrm{x})+\mathrm{B} * \cos (2 \mathrm{x}) ; \mathrm{y}_{\mathrm{p}}^{\prime}(\mathrm{x})=2 \mathrm{~A} * \cos (2 \mathrm{x})-2 \mathrm{~B} * \sin (2 \mathrm{x}) \)
$$ y_{p}^{\prime \prime}(x)=-4 A * \sin (2 x)-4 B * \cos (2 x) $$
Einsetzen in DGL: \( (-6 A-2 B) * \sin (2 x)+(2 A-6 B) * \cos (2 x)=3 \sin (2 x) \mid \)
Koeffizientenvergleich: \( -6 \mathrm{~A}-2 \mathrm{~B}=2 ; 2 \mathrm{~A}-6 \mathrm{~B}=0 ; \quad \mathrm{A}=-\frac{9}{20} ; \mathrm{B}=-\frac{3}{20} \)
Das ist die Lösung des Dozenten. bis zum partikulären Ansatz habe ich alles verstanden und lösen können. Beim Koeffizientenvergleich habe ich jedoch das Problem, dass ich nicht weiß, wie er auf beim Aufstellen des Gleichungssystems die jeweils die rechte Seite festgelegt hat, also 2 und 0 (erste Zeile Koeffizientenvergleich)
Meine grundlegende Frage: Woher weiß ich was ich beim Aufstellen des Gleichungssystems was die rechte Seite für die Gleichungen sind?..
