Wie funktioniert der Koeffizientenvergleich bei inhomogenen Dgl. 2. Ordnung?

Question

Ich verstehe folgenden Schritt in der Aufgabe nicht:

Kann jemand den Koeffizientenvergleich erklären?

Wie komme ich auf Bo B1 B2?

2. Schritt: Bestimmung einer speziellen Lösung \( y_{p} \)

Störfunktion \( h(x)=x^{2}+4 x+1 \) ist Polynom \( 2 . \) Grades, daher Ansatz

\( y_{p}=B_{2} x^{2}+B_{1} x+B_{0} \)
$$ y_{\mathrm{p}}^{\prime}=2 B_{2} x+B_{1} $$
\( y_{\mathrm{p}}^{*}=2 B_{2} \)

Einsetzen in die Ausgangs-Dgl \( y^{*}+9 y=x^{2}+4 x-1 \) :

\( 2 B_{2}+9\left(B_{2} x^{2}+B_{1} x+B_{0}\right)=x^{2}+4 x-1 \)

\( 9 B_{2} x^{2}+9 B_{1} x+9 B_{0}+2 B_{2}=x^{2}+4 x-1 \)

Koeffizientenvergleich liefert folgendes Gleichungssystem:

\( 9 B_{2}=1 \)

\( 9 B_{1}=4 \)
$$ 9 B_{0}+2 B_{2}=-1 $$
Daraus erthält man die Lösung

\( B_{2}=\frac{1}{9} \)
$$ \begin{array}{l} {B_{1}=\frac{4}{9}} \\ {B_{0}=-\frac{11}{81}} \end{array} $$
Somit ist \( y_{p}=\frac{1}{9} x^{2}+\frac{4}{9} x-\frac{11}{81} \)

Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung ist somit

\( y=A_{1} \cos 2 x+A_{2} \sin 3 x+\frac{1}{9} x^{2}+\frac{4}{9} x-\frac{11}{4}+\sin A_{1}, A_{2} \in ℝ \)

Comments

Hier das Bild etwas größer

Answer 1

Hi,

ich hoffe es ist nicht der Schritt vom ersten zum zweiten Fragezeichen Oo.

Zum ersten Fragezeichen kommt man, in dem man "den Ansatz in die Ausgangsdgl einsetzt"

Also was im Absatz vor dem ersten Fragezeichen gemacht wird.

 

Hast Du eingesetzt, so löse wie auch die es machen, so auf, dass Du so ordnest, dass Du

(iwas)x^2 + (iwas)x + (iwas) = ...

schreiben kannst.

Nun vergleiche das mit der rechten Seite. Dabei sind nur die jeweiligen Koeffizienten von Belang. Denn nur was links vor dem x^2 steht, kann das vor dem x^2 auf der rechten Seite beeinflussen (deswegen ja "Koeffizientenvergleich).

 

9B₂x^2 + 9B₁x + (9B₀+2B₂) = 1x^2+4x-1

 

Das ist nun genau das, was in dem Absatz mit dem ersten Fragezeichen steht.

 

Alles klar?

Grüße

Comments

Ja Das meiste habe ich verstanden!

Probleme bereiten mir noch der Koeffizientenvergleich!

Was ich noch nicht verstanden habe:

Warum wird die linke Seite zusammengefasst?

(9B₀+2B₂)=-1

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Beide auf der linken Seite haben kein x bei sich. Sie haben also beide die Möglichkeit die -1 zu beeinflussen. Müssen also beide Summanden berücksichtigt werden! ;)

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Vielen Dank. Du hast mir sehr geholfen! War schon am verzweifeln! Jetzt kann es weiter gehen!