Hallo :-)
eine Idee vom Taylorpolynom ist doch ,,komplizierte" Ausdrücke möglichst effizient auszurechnen und den Fehler dabei dennoch klein zu halten, den man dabei macht. Die Zahl \(1.05^{1.02}\) kann man ja etwas anders hinschreiben: Exponent ist \(1.02=\frac{102}{100}=\frac{51}{50}\). Also hat man \(1.05^{1.02}=1.05^{\frac{51}{50}}=\sqrt[50]{1.05^{51}}\). Solche Potenzen mit Wurzeln mit dem Taschenrechner zu berechnen ist sehr ,,ekelhaft", da du allein die Zahl \(1.05\) schon \(51\) mal mit sich selbst multiplizieren darfst und die Zwischenergebnisse gerundet werden, sodass es eine gewisse Fehlerfortpflanzung gibt.
Polynome mit kleinem Grad (so 2 bis 4) sind da sehr angenehm auszurechnen.
Dein Ergebnis stimmt nicht, denn du hast auch die partielle Ableitung nicht richtig berechnet. Zb lautet \(\partial_yf(x,y)=\ln(x)\cdot x^y\) und nicht \(\partial_yf(x,y)=x^y\).
[Zur Kontrolle: \(T_2(x,y)=1-x+xy\)].
Wenn du auch darauf gekommen bist, musst du nur noch \(x=1.05\) und \(y=1.02\) in \(T_2\) einsetzen, was ja deine Näherung von \(f\) ist, die du im Punkt \(p=(1,1)\) entwickelst. Um den Punkt \(p\) wird dieses Taylorpolynom dein f approximieren und in \(p\) stimmen sie überein.
Und da siehst du auch, wie effizient aufeinmal diese wirklich ekelhafte Potenz approximativ berechnet wird.
