Aufgabe:
Gegeben ist die affine Abbildung \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}: x \mapsto A x \) mit \( A=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{rrr}1 & -2 & -2 \\ -2 & 1 & -2 \\ -2 & -2 & 1\end{array}\right) \).
(a) Weisen Sie nach, dass \( f \) eine Isometrie ist, und berechnen Sie die Ursprungsebene \( U=\mathrm{L}(v, w) \) als Fixpunktmenge der Abbildung \( f \).
(b) Geben Sie die HNF \( U:\langle n \mid x\rangle=d \) an. Was fällt Ihnen bei \( A v, A w \) und \( A n \) auf?
(c) Berechnen Sie \( _{\mathbb{F}} f_{\mathbb{F}} \) bzgl. des affinen Koordinatensystems \( \mathbb{F}=(0 ; v, w, n) \) von \( \mathbb{R}^{3} \). Was beschreibt \( f \) geometrisch für eine Abbildung?
Problem/Ansatz: Die Teilaufgabe c)
ich habe als affines Koordinatensystem F=( 0; \( \begin{pmatrix} -1\\1\\0 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} -1\\0\\1 \end{pmatrix} \) , 1/√3 \( \begin{pmatrix} -1\\-1\\-1 \end{pmatrix} \) )
Wie komme ich auf fFf?
Meine Ideen: FidE EfE EidF → ich glaube, dass mit den id geht nur bei Matrizen und nicht bei ganzen Koordinatensystemen.
Daher anderer Ansatz: FfF= FkE EfE EkF
Ist das möglich so?
