Question

Entscheiden Sie, welche der folgenden Reihen konvergieren (mit Beweis)

a)

\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2 \sqrt{k}} \)

b)

\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \sqrt{k} \cdot(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}) \)

c)

\( \sum \limits_{k=1}^{\infty}(-1)^{k} \cdot \frac{1}{k} \)

Hinweis: Fassen Sie jeweils zwei aufeinanderfolgende Summanden geeignet zusammen.

Answer 1

a) $$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{2 \sqrt{k}} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{\frac{1}{2}}}$$ ist eine allgemeine harmonische Reihe mit alpha < 1 und daher divergent. Es ist eben die harmonische Reihe $$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}$$ eine Minorante der obigen Reihe.

b) Die Reihe ist divergent, da die Folge unter der Summe keine Nullfolge ist:

$$\sqrt{k}(\sqrt{k+1} - \sqrt{k}) = \frac{\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{k+1}{k}+1}} = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{k}}+1} \rightarrow \frac{1}{2} \neq 0$$

c) Ist nach dem Leibnitz-Kriterium konvergent, da 1/k eine monoton fallende Nullfolge ist.