Assoziierte Elemente eines Rings

Question

Aufgabe:

Beweisen werden soll:
Sei R ein kommutativer Ring mit Eins und seien a; b ∈ R assoziiert in R.
Dann gelten folgende Aussagen:
(1) a Einheit in R ⇔ b Einheit in R.
(2) a irreduzibel in R ⇔ b irreduzibel in R.
(3) a prim in R ⇔ b prim in R.

Kann mir hier jemand helfen. Ich bekomme den Beweis dazu einfach nicht hin.

Ich bin über jede Hilfe dankbar.

Comments

Was bedeuten denn die Eigenschaften assoziiert, Einheit, irreduzibel und prim?

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Wir haben das wie folgt definiert:

1. assoziiert: es existiert ein x aus der Einheit von R (R^x ), sodass gilt a*x=b

2. Einheit: ∃y∈R mit ay=1 für a∈R, dann ist a eine Einheit

3. irreduzibel: a∉R^x ∪ {0}: a=x*y → x∈R^x oder y∈R^x , dann ist a irreduzibel

4. prim: a|x*y → a|x oder a|y, dann ist a prim

Nur weiß ich nicht, wie ich das dann entsprechend umformen kann.

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Ok. Dann fangen wir mal mit (1) an

Überlege dir zuerst folgendes: Wenn \( u,v \in R^* \) Einheiten sind. Ist dann auch \( u \cdot v \) eine Einheit? Wenn ja, wie sieht das Inverse Element aus?

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ja, das ist auch eine Einheit. Dann wäre das Inverse (u*v)^-1 = v^-1 * u^-1 , denn (u*v)*(u*v)^-1 = 1

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Richtig. Und jetzt hast du alles was du für die (1) brauchst:

Seien a, b assoziiert, etwas \( a \cdot x = b \) mit \( x \in R^* \). Dann gilt auch \( a = b \cdot x^{-1} \).

Hinrichtung "⇒": Sei a eine Einheit, warum ist dann auch \( b = a \cdot x \) eine Einheit?

Rückrichtung "⇐": Sei b eine Einheit, warum ist dann auch \( a = b \cdot x^{-1} \) eine Einheit?

Wie du siehst läuft die Rückrichtung auf exakt dasselbe Argument hinaus. Das wird auch bei den anderen Aufgaben so sein, es reicht also immer nur eine Richtung zu zeigen.

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Dann zur (2) Wieder nehmen wir an, dass \( a \cdot x = b \) bzw. \( a = b \cdot x^{-1} \) für eine Einheit \( x \)

Hinrichtung "⇒": Sei \( a \) irreduzibel, insbesondere ist \( a \notin R^* \) und \( a\neq 0 \).

Du möchtest zeigen, dass \( b \) auch irreduzibel. Also musst du erst einmal begründen, warum \( b \) keine Einheit sein kann und warum auch nicht \( b = 0 \) gelten kann.

Anschließend nehmen wir an, dass \( b = u \cdot v \) für beliebige Ringelemente \( u,v \in R \) ist. Du musst jetzt zeigen, dass u oder v eine Einheit sein muss. Jetzt ist aber \( ax = uv \) bzw. \( a = u \cdot(v x^{-1}) \). Da \( a \) irreduzibel kannst du schließen, dass \( u \) eine Einheit sein muss oder \( v x^{-1 } \). Wenn jetzt \( vx^{-1} \) eine Einheit wäre, wäre dann auch \( v \) eine Einheit?

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Irgendwie kann ich das noch nicht richtig im Beweis anwenden.

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Was genau kannst du nicht richtig anwenden?

Du weißt doch dass das Produkt von zwei Einheiten wieder eine Einheit ist. Und wenn du jetzt begründen sollst

Sei a eine Einheit, warum ist dann auch \( b = a \cdot x \) eine Einheit?

warum b hier als Produkt von zwei Einheiten (a ist immerhin eine Einheit und x auch) selbst eine Einheit ist, fällt dir keine Begründung ein?

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Achso, also da a und x eine Einheit ist, ist auch das Produkt eine Einheit, also b. Und anders herum, wenn b eine Einheit ist, dann ist auch a=b*x^-1 eine Einheit, weil eben b eine Einheit ist und das Inverse einer Einheit auch eine Einheit ist.

Aber wie kann ich das mathematisch korrekt aufschreiben?

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Z.B. so:

Seien a, b assoziiert, etwas \( a \cdot x = b \) mit \( x \in R^* \). Dann gilt auch \( a = b \cdot x^{-1} \).

Hinrichtung "⇒": Sei a eine Einheit. Dann ist auch \( b = a \cdot x \) eine Einheit,

da a und x eine Einheit ist, ist auch das Produkt eine Einheit.

Rückrichtung "⇐":

Wenn b eine Einheit ist, dann ist auch a=b*x-1 eine Einheit, weil eben b eine Einheit ist und das Inverse einer Einheit auch eine Einheit ist.

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Ach, ok.

Und dann zu (2):

Dann zur (2) Wieder nehmen wir an, dass \( a \cdot x = b \) bzw. \( a = b \cdot x^{-1} \) für eine Einheit \( x \)

Hinrichtung "⇒": Sei \( a \) irreduzibel, insbesondere ist \( a \notin R^* \) und \( a\neq 0 \). Dann ist b auch keine Einheit, weil a keine Einheit ist und a nur eine Einheit sein kann, wenn sowohl b als auch x^-1 eine Einheit sind. Da aber a keine Einheit ist, x aber schon, folgt b ist keine Einheit. b kann auch nicht 0 sein, da a nicht 0 ist. Sobald b=0 wäre muss auch a= 0, denn a=0*x^-1 =0.

Aber wie mache ich jetzt weiter?

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Vielleicht tust du dir bei der Formulierung mit Widerspruchsbeweisen etwas leichter:

Hinrichtung "⇒": Sei \( a \) irreduzibel, insbesondere ist \( a \notin R^* \) und \( a\neq 0 \).

Angenommen \( b \) wäre eine Einheit, dann wäre auch \( a = b \cdot x^{-1} \) als Produkt von Einheiten eine Einheit. Widerspruch. D.h. b ist keine Einheit.

Angenommen \( b = 0 \), dann

wäre auch a= 0, denn a=b*x^(-1) = 0*x^(-1) =0.

Widerspruch. Also ist \( b \neq 0 \).

Somit \( b \notin R^* \cup \{ 0 \} \).

Sei nun \( b = u\cdot v \) mit \( u, v \in R \).

Zz. ist \( u \in R^* \) oder \( v \in R^* \)

Es ist \( a = u \cdot (vx^{-1}) \). Wegen \( a \) irreduzibel ist nun \( u \in R^* \) oder \( vx^{-1} \in R^* \).

Falls \( u \in R^* \) ist " \( u \in R^* \) oder \( v \in R^* \) " sicherlich erfüllt.

Falls \( vx^{-1} \in R^* \) existiert eine Einheit \( y \in R^* \) mit \( vx^{-1} = y \) bzw. \( v = yx \). D.h. \( v \) ist eine Einheit als Produkt von Einheiten. Auch in diesem Fall gilt also " \( u \in R^* \) oder \( v \in R^* \) ".

Und dann bist du auch schon fertig.

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Alles klar. Der Widerspruch ist natürlich einfacher.

Und wie mache ich das dann bei (3)?

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prim: a|x*y → a|x oder a|y, dann ist a prim

Was bedeutet denn "|"?

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"teilt", also a teilt x*y →a teilt x oder a teilt y

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Das ist mir schon klar :D Aber wie ist "teilen" definiert?

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a|x ⇔ ∃y∈R mit ay=x

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Genau. Sei a prim. Wir wollen zeigen, dass b prim ist

Seien u, v Elemente aus R s.d. b|(u*v) jetzt musst du zeigen, dass b|u oder b|v gilt.

Also wende mal die Definition von Teilbarkeit auf b|(u*v) an..

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∃z∈R mit b*z = u*v

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Richtig, und wenn du jetzt dort \( b = a x \) ersetzt, was kannst du dann über a und u*v folgern?

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a*x*z=u*v. Wenn x*z=g, dann a*g=u*v und da a prim ist, gilt a|u oder a|v und damit ist auch b prim

Und umgekeht, wenn b prim ist, dann ist a=b*x^-1

Wenn a|(u*v), dann ∃z∈R mit a*z = u*v. Dann folgt b*x^-1 *z = u*v. Und wenn dann x^-1 * z = g, dann folgt b*g = u*v und damit b|u oder b|v und damit ist auch a prim.

Ist das so richtig gefolgert?

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a*x*z=u*v. Wenn x*z=g, dann a*g=u*v (d.h. a | u*v) und da a prim ist, gilt a|u oder a|v

Gut :)

und damit ist auch b prim

Das ist jetzt etwas zu schnell. Wir sind ja erst bei "a|u oder a|v".

Aber jetzt wendest du einfach denselben Trick wie oben - nur umgekehrt an -

Oben hast du gezeigt, dass b | (u*v) ⇒ a | (u*v)

Jetzt 2 Fallunterscheidungen machen. Die Lücke bekommst du bestimmt selbst geschlossen:

Falls a|u => ... => b|u

Falls a|v => ... => b|v

also gilt insgesamt "b|u oder b|v". Und dann bist du fertig.

Rückrichtung kannst du wie oben bereits gesagt auch eigentlich weglassen. Der Anfang ist aber richtig, nur der Schluss auch hier zu schnell.

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a|u => a*y = u => b*x^-1 *y = u und mit x^-1 *y = g => b*g = u => b|u

a|v => a*y = v => b*x^-1 *y = v und mit x^-1 *y = g => b*g = v => b|v

Damit ist b auch prim

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So sieht es gut aus.

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Vielen Dank für deine Hilfe!