Richtig. Und jetzt hast du alles was du für die (1) brauchst:
Seien a, b assoziiert, etwas \( a \cdot x = b \) mit \( x \in R^* \). Dann gilt auch \( a = b \cdot x^{-1} \).
Hinrichtung "⇒": Sei a eine Einheit, warum ist dann auch \( b = a \cdot x \) eine Einheit?
Rückrichtung "⇐": Sei b eine Einheit, warum ist dann auch \( a = b \cdot x^{-1} \) eine Einheit?
Wie du siehst läuft die Rückrichtung auf exakt dasselbe Argument hinaus. Das wird auch bei den anderen Aufgaben so sein, es reicht also immer nur eine Richtung zu zeigen.
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Dann zur (2) Wieder nehmen wir an, dass \( a \cdot x = b \) bzw. \( a = b \cdot x^{-1} \) für eine Einheit \( x \)
Hinrichtung "⇒": Sei \( a \) irreduzibel, insbesondere ist \( a \notin R^* \) und \( a\neq 0 \).
Du möchtest zeigen, dass \( b \) auch irreduzibel. Also musst du erst einmal begründen, warum \( b \) keine Einheit sein kann und warum auch nicht \( b = 0 \) gelten kann.
Anschließend nehmen wir an, dass \( b = u \cdot v \) für beliebige Ringelemente \( u,v \in R \) ist. Du musst jetzt zeigen, dass u oder v eine Einheit sein muss. Jetzt ist aber \( ax = uv \) bzw. \( a = u \cdot(v x^{-1}) \). Da \( a \) irreduzibel kannst du schließen, dass \( u \) eine Einheit sein muss oder \( v x^{-1 } \). Wenn jetzt \( vx^{-1} \) eine Einheit wäre, wäre dann auch \( v \) eine Einheit?