Habe mich auch mal an die Aufgabe gesetzt, und vermute, mit Fixpunkt ist tatsächlich singulärer bzw. stationärer Punkt gemeint, also wenn $$\left(\begin{array}{c}\dot{x} \\ \dot{v} \end{array}\right) = f \left(\begin{array}{c}x \\ v \end{array}\right), $$ dann ist (x,v)T ein singulärer Punkt, wenn gilt: $$f \left(\begin{array}{c}x \\ v \end{array}\right) = 0.$$ Fixpunkt ist definitiv eine irreführende Bezeichnung in dem Kontext. Aber dass der gegebene Punkt ein stationärer Punkt ist, lässt sich recht einfach überprüfen. Für Stabilität kannst du dann den Gradienten von f betrachten, der dann eine Blockmatrixform hat $$\nabla f = \begin{pmatrix}0 & I \\ -H(U) & 0 \end{pmatrix}, $$ wobei H(U) die Hessematrix von U ist, und I die n-dimensionale Einheitsmatrix. Hier müsstest du dann die Eigenwerte dieses Systems bestimmen.Wenn du dann aber $$\nabla f • \left(\begin{array}{c}x \\ v \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}v \\ -H(U)x \end{array}\right) = \lambda \left(\begin{array}{c}x \\ v \end{array}\right)$$ betrachtest (Bedingung für einen Eigenwert), dann kannst du über die positive Semidefinitheit von H(U) schliessen, dass alle Eigenwerte Realteil 0 haben. Dann müsstest du noch zeigen, dass die algebraischen und geometrischen Vielfachheiten der Eigenwerte übereinstimmen, um damit zu zeigen, dass das System stabil ist. Den Teil habe ich selbst aber auch nocht nicht.
