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Die Punkte innerhalb der Punktmenge$$F_1=\{(x;y;z)\in\mathbb R^3\,\big|\,z=xe^y\;\land\;x\in(0;1)\;\land\;y\in(0;1)\}$$sind schon toll parametrisiert, das können wir so übernehmen:$$\vec r=\begin{pmatrix}x\\y\\xe^y\end{pmatrix}\quad;\quad x\in(0;1)\quad;\quad y\in(0;1)$$Bis auf das Vorzeichen können wir daraus den Flächen-Normalenvektor \(d\vec f\) bestimmen:
$$\frac{d\vec f}{dx\,dy}=\pm\frac{\partial\vec r}{\partial x}\times\frac{\partial\vec r}{\partial y}=\pm\begin{pmatrix}1\\0\\e^y\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\1\\xe^y\end{pmatrix}=\pm\begin{pmatrix}-e^y\\-xe^y\\1\end{pmatrix}$$Da der Normalenvektor \(d\vec f\) eine postive \(z\)-Komponente haben soll, gewinnt das Pluszeichen:$$d\vec f=\begin{pmatrix}-e^y\\-xe^y\\1\end{pmatrix}\,dx\,dy$$
Der Fluss \(\Phi\) des Vektorfeldes \(\vec w\) durch diese Fläche ist daher:$$\Phi=\iint\limits_{F_1}\vec w\,d\vec f=\int\limits_{x=0}^1\;\int\limits_{y=0}^1\begin{pmatrix}xy\\4x^2\\y\cdot xe^y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-e^y\\-xe^y\\1\end{pmatrix}\,dx\,dy=\int\limits_{x=0}^1\;\int\limits_{y=0}^1(-4x^3e^y)\,dx\,dy$$$$\phantom{\Phi}=-\int\limits_{0}^14x^3\,dx\cdot\int\limits_0^1e^y\,dy=-\left[x^4\right]_0^1\cdot\left[e^y\right]_0^1=-(e^1-e^0)=1-e$$
