Hallo,
Und warum wurde die Aufgabe dann so gestellt?
Die Aufgabenstellung fordert
Die Sinusfunktion soll durch eine Parabel beschrieben werden(Entwicklung beim Maximum)
Die Sinusfunktion soll durch eine Parabel beschreiben werden - ok. Aber mit 'Entwicklung beim Maximum' ist sicher das Maximum der Funktion \(f(x)=\sin(x)/x\) gemeint. Und dieses Maximum liegt bei \(x=0\). Das Taylorpolynom für den Sinus ist folglich$$T_2(\sin(x);\,0) = x $$mehr nicht! Dass das keine Parabel ist, hat der Autor vielleicht übersehen. Das Ergebnis ist dann trivialerweise$$\int_0^1 \frac{\sin(x)}{x}\,\text dx \approx \int_0^1 1\, \text dx = 1$$und das ist gar nicht so weit weg vom exakten Ergebnis, welches in der Nähe von \(0,946\) liegt.
Eine Entwicklung bei \(x=\pi/2\) macht keinen Sinn, wie der Plot zeigt
~plot~ sin(x)/x;-x/2+pi/2+(8-(pi)^2)/(8x);x=pi/2;x=1;[[-1|4|-1|2]] ~plot~
Die grüne Senkrechte markiert \(x= \pi/2\). Der blaue Graph ist die Funktion \(\sin(x)/x\) und der rote die Taylorentwicklung von \(\sin(x)\) um \(\pi/2\) dividiert durch \(x\) - also:$$\frac{T_2\left(\sin(x);\,\frac\pi2\right)}x = -\frac12 x +\frac12\pi +\frac{8-\pi^2}{8x}$$Damit kann schlecht die Fläche unter der blauen Kurve im Intervall \([0;\,1]\) berechnet werden, da die Fläche unter der roten Kurve im gleichem Intervall gegen (minus) unendlich geht.
Alternativ kann man das Taylorpolynom der Funktion \(f(x)=\sin(x)/x\) aufstellen:$$T_2\left(\frac{\sin(x)}{x};\,0\right) = 1- \frac 16x^2$$und das ist eine Parabel. Damit wird aus dem Integral:$$\int_0^1 \frac{\sin(x)}{x}\,\text dx \approx \int_0^1 1- \frac 16x^2\,\text dx = \frac{17}{18} = 0,9\overline{4}$$Nochmal ein Blick auf den Plot
~plot~ sin(x)/x;1-x^2/6;;x=1;[[-0.5|1.4|-0.2|1.3]] ~plot~
Der blaue Graph ist das Original und der rote die Näherung. Das passt augenscheinlich, um das Integral im Intervall 0 bis 1 (lila Senkrechte) zu berechnen.
Gruß Werner
