Bestimmen Sie die reelle Lösungsmenge der folgenden Ungleichungen

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Bestimmen Sie bitte die reelle Lösungsmenge der folgenden Ungleichungen:
(a) \( \frac{2-x}{-2 x}+1<-2 \)

Problem/Ansatz:

Wie bestimmt man die Lösungsmenge der Ungleichung?

Answer 1

(2-x)/-2x+3 <0

(2-x-6x)/-2x <0

1. Fall:

(2-7x)/-2x <0

2-7x<0 u. -2x>0

x>2/7 u. x<0 -> keine Lösung

2. Fall:

x<2/7 u. x>0  -> 0<x<2/7

L = ]0,2/7[  = (0;2/7) = {x| 0<x<2/7}

Answer 2

\( \frac{2-x}{-2 x}+1<-2 \)

\( \frac{2-x}{-2 x}<-3 \)|*(-1)

\( \frac{2-x}{2 x}>3 \)

1.Fall : x>0

2-x>6x  →   2>7x  →x<\( \frac{2}{7} \)

2.Fall : x=0  →  f(x) hat dort einen Pol

3.Fall : x<0

z.B: x=-1

\( \frac{2+1}{2 }>3 \)  geht nicht

Lösungsmenge: 0<x<\( \frac{2}{7} \)

Comments

Diese Antwort ist in ihrer mathematischen Stümperhaftigkeit (Fall 3) schlimmer als gar keine Antwort.

Answer 3

Aloha :)

Wir vereinfachen die Ungleichung zunächst soweit wie möglich ohne Fallunterscheidungen.$$\left.\frac{2-x}{-2x}+1<-2\quad\right|\text{den Bruch aufteilen}$$$$\left.\frac{2}{-2x}+\frac{-x}{-2x}+1<-2\quad\right|\text{Brüche kürzen}$$$$\left.\frac{1}{-x}+\frac{1}{2}+1<-2\quad\right|\text{Brüche addieren}$$$$\left.\frac{1}{-x}+\frac{3}{2}<-2\quad\right|-\frac{3}{2}$$$$\left.\frac{1}{-x}<-\frac72\quad\right|\cdot(-1)$$$$\left.\frac{1}{x}>\frac72\quad\right.$$Da \(\frac{1}{x}\) positiv sein muss, ist klar, dass \(x>0\) gelten muss. Für \(x>0\) erhalten wir durch Kehrwertbildung unseres bisherigen Ergebnisses \(x<\frac27\). Damit ist die Lösung:$$x\in\left(0\,;\;\frac27\right)$$

~plot~ (2-x)/(-2x)+1 ; -2 ; {2/7|-2} ~plot~